Или в сокращенной записи

(15.143). (15.144)

Здесь введены передаточная функция замкнутой системы Ф (z) и передаточная функция по ошибке Ф (z).

Условием применимости формул (15.143) и (15.144) является требование равенства нулю приведенной весовой функции в момент f = О, т. е. (0)=0. Для этого в системах с бесконечно короткими импульсами в виде б-функций требуется, чтобы степень числителя передаточной функции непрерывной части Wo (р) по крайней мере на два была меньше степени знаменателя.

В системах с конечными по длительности импульсами достаточно, чтобы эта разность была бы не меньше единицы.

Передаточные функции W [z), Ф (z) и Ф (z) могут быть использованы для оценки устойчивости и качества импульсных систем.

Если 8 :0, то, учитывая, что в замкнутой системе X (z, 0) есть изображение ошибки, на которую реагирует импульсный злемент, можно получить из (15.140)

Yiz, )=,x\Giz, 0). . (15.145)

Однако формула (15.145) обычно не используется, так как практически всегда выражения (15.141) - (15.144) могут быть использованы для оценки

качества работы импульсной системы.

Передоточные функции для возмущений. На рис. 15.14 изображен случай, когда внешнее воздействие приложено не на входе импульсного элемента (например, возмущающее воздействие). Перенесем воздействие / на выход в виде воздействия fi. В соответствии с правилами преобразования структурных схем, если для возмущения / (f) изображение Лапласа будет (р), то возмущению (t) должно соответствовать изображение Лапласа (р) = W {р) Fs, (р). Далее можно найти z-преобразование эквивалентного воздействия

Рис. 15.14.

Fi (z) = Z {Wz ip) F (p)} = WF (z).

Для этого воздействия в разомкнутой системе будет X (z) а в замкнутой

y(z)=-Z(z) =

i + W(z) i+W(z)

(15.146) -Fi {z)r (15.147)

Таким образом, в случае воздействий, не приложенных ко входу импульсного элемента, передаточная функция импульсной системы может быть определена только для эквивалентного воздействия, полученного пересчетом реального воздействия па вход импульсного элемента.

Частотные передаточные функции. Введем в рассмотрение синусоидальную последовательность на входе импульсного фильтра

X [п] = а sin (паТ -f ф).

(15.148)

В этой формуле Z - произвольное комплекс- <у=5:к нов число с модулем, равным единице. Следова- тельно, каждой частоте соответствует определенная точка на окружности единичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис. 15.15). Двум эквивалентным частотам, т. е. частотам, различающимся на целое кратное частоты 5.15.

повторения, соответствует одна и та же точка на

этой окружности. Частоте со = О соответствует точка на вещественной оси Z = 1, а частоте со = 0,5соо - диаметрально противоположная точка z = = -1. Частоте со = 0,25соо соответствует точка z = /, и т. д. Когда частота со изменяется от О до со©, представляющая ее точка совершает од1ш полный

где G и ф - амплитуда и начальная фаза, Т - период повторения (чередования) импульсов, Тс ~ -- период синусоидальной последовательности.

Заметим, что, в отличие от непрерывной гармонической функции, синусоидальная последовательность (15.148) представляет собой в общем случае непериодическую функцию п. Она представляет собой периодическую функцию п тогда и только тогда, когда период повторения Т и период гармонической функции Тс - соизмер1ПУ1ые числа. Кроме того, амплитуда а не обязательно является тем максимальным значением, которого могут достигать те или иные члены последовательности. Амплитуда всегда является лишь верхней границей, но не обязательно максимумом этих членов.

Отметим также, что последовательность (15.148) не изменится, если

заменить частоту /= ~ частотой / -Н /с/о, где = Т~ - частота работы

ключа, а /с - целое число. Невозможно различить две частоты, разность между которыми равна целому кратному частоты повторения f. Так, например, синусоидальная последовательность с частотой f = fo состоит из одного единственного члена, повторяющегося неограниченное число раз, и, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотой / = 0.

Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности на входе / в пределах от О до /о, можно охватить весь диапазон возможных частот.

Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра в диапазоне частот 0<;/ 0,5/, так как для интервала частот 0,5/о о может быть использована дополнительная частота /, выбранная так, чтобы выполнялось условие f + f = fo- При этом начальная фаза ф должна быть заменена начальной фазой п - ф. Это положение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервале частот - оо <; / <; оо достаточно охватить только положительные частоты, т. е. интервал 0/ < оо.

Синусоидальная последовательность (15.148) может быть заменена символической записью последовательности комплексных чисел

X [п] = ае( +<Р) = ае <, (15.149)

где а = аеЧ - комплексное число.

Как и в случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что на самом деле х [п] равно мнимой составляющей правой части (15.149).

Введем обозначение е® = z. Тогда последовательность (15.149) приобретает вид

x[n\ = az . (15.150)

оборот против часовой стрелки. Двум симметричгшм относительно вещественной ОСИ точкам, т. е. двум комплексным сопряженным числам с модулями, равными единице, соответствуют две взаимно дополняющие частоты со и со. Следовательно, совокупность точек, расположенных на одной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна для отображения всего многообразия частот.

Найдем теперь реакцию импульсного фильтра на синусоидальную последовательность (15.149). Будем предполагать нри этом, что импульсный фильтр является устойчивым. Поскольку синусоидальная последовательность на входе всегда ограничена, то и реакция устойчивого фильтра на эту последовательность должна представлять собой определенную ограниченную последовательность на выходе.

В соответствии с формулой (15.118) выходная величина в этом случае будет для установившегося режима

оо оо

oo oo

= S Wulm] az - = az S гп [m] z- . (15.151)

Эта формула может быть представлена в следующем символическом виде:

y[n] = 6z = Gz W(z) = 5[ ]l(z), (15.152)

где z = e®, со = 2яГс\ b = aWr = beJ(4+*). Здесь введена величина

Ж(е ) = 2 J/nHlz- , z = eJ , (15.153)

которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функции непрерывной системы. Как видно из (15.153), для данного импульсного фильтра она зависит только от частоты со и является периодической функцией частоты с периодом со = 2пТ~.

Амплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (15.152) можно найти обычным приемом но комплексному выражению W (z). Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз - аргументу этого выражения: Ъ = а \ W \ ъ = arg W.

В общем случае, когда в фО, формула (15.152) может быть представлена в виде

у[п, e] = W (z, е) ж [и], z = е , (15.154)

где W (z, е) - передаточная функция (15.124).

Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена из дискретной передаточной функции импульсного фильтра W (z) или W (z, е) посредством подстановки z == е®.

Пример. Пусть непрерывная часть тпульсного фильтра представляет собой апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией Wo [р) = А; (1 -Ь Tip)~, а импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы продолжительности = уТ.

Приведенная функция веса такого звена