S 7.1]

общие Соображения

то частное решение определяющее установившийся процесс в системе, будет иметь три слагаемых, каждое из которых определяется частным решением одного из уравнений:

D (р) x{t)Q (р) g {t), D{p)x it) = N, ip) h (t), D{p)x it) = N2 {p)h{t).

Несколько иначе обстоит дело с определением переходной составляющей. В решении для переходной составляющей (7.3) произвольные постоянные Cj, . . ., Сп должны вычисляться по начальным условиям обязательно с использованием полного выражения решения (7.2), т. е. при исследовании переходных процессов в системах автоматического регулирования всегда надо оговаривать соответствующие внешние условия - задавать g {t) и / (t).

Если переходный процесс ищется как решение однородного уравнения D (р) X {t) = О при заданных начальных условиях системы, то результат такого решения отвечает случаю отсутствия задающих и возмущающих воздействий, причем система совершает свободное движение с какого-то смещенного начального полонения. Если же переходный процесс происходит в результате изменения внешних условий (возмущающих сил, изменения нагрузки, перенастройки, изменения режима слежени и т. п.), то этот переходный процесс надо исследовать иначе, с определешем произвольных постоянных из полного решения, включающего в себя установившуюся составляющую. Вид воздействия g (t) или / {t) и стоящих перед ними операторных многочленов оказывает существенное влияние на вид переходного процесса.

При нахождении кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования возникают две трудности. Первая трудность - принципиального характера - заключается в том, что в реальных системах регулирования управляющие и возмущающие воздействия не являются известными функциями времени, а но-

сят случайный характер.

В связи с этим приходится рассматривать некоторые типовые входные воздействия. Типовые входные воздействия стремятся выбирать так, чтобы они были по возможности близкими к реальным воздействиям в системе автоматического регулирования.

Для следящих систем при g (t) = О и систем стабилизации переходный процесс может строиться для случая приложения возмущающего воздействия. В качестве типовых используются возмущаю- Рис. 7.1.

щие воздействия в виде

единичной ступенчатой функции / (f) = 1 (t) и в виде единичной импульсной функции / (г) = б (t). Эти типовые возмущения изображены на рис. 7.1.

Входная функция первого типа часто встречается в системах автоматического регулирования и представляет собой внезапный скачок возмущающего воздействия на некоторую постоянную величину, например увеличение тока нагрузки генератора, увеличение момента нагрузки двигателя и т. п. Реакция системы на такое воздействие, построенная для регулируемой

величины или для ошибки, отличаювихся только знаками {х (t) = - у (t)), представляет собой переходную функцию системы для данного возмувения.

Входная функция второго типа также встречается в системах автоматического регулирования в виде кратковременного удара нагрузки, например

при коротком замыкании электрического генератора, которое прекранается через небольшой промежуток времени системой заш;иты (плавкие предохранители, максимальные автоматы и т. п.), при кратковременном возрастании момента нагрузки двигателя и т. д. Реакция сис- темы на воздействие зтого типа представляет ее функцию веса.

В следяних системах для построения переходного процесса могут приниматься типовые задающие воздействия (рис. 7.2) в виде единичной ступенчатой функции g {t) = = 1 {t) или в виде воздействия, изменяющегося по линейному закону g (t) = at-i (t). Воздействие первого типа соответствует, например, в следящих системах воспроизведения угла быстрому повороту командной оси на некоторый угол. Реакция системы у (t) на такое задающее воздействие представляет собой ее переходную функцию для задающего воздействия.

Воздействие второго типа является характерньш для следящих систем воспроизведения угла, когда командная ось внезапно начинает двигаться с постоянной скоростью.

Возможно изучение поведения системы регулирования и в том случае, когда входное воздействие представляет собой не детерминированную (определенную), а случайную функцию времени. Этот вопрос будет рассмотрен в главе 11.

Вторая трудность - непринципиального характера - заключается в том, что обычно системы регулирования описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка. Это усложняет практические расчеты; потому для облегчения задачи построения кривой переходного процесса во многих случаях приходится пользоваться приближенными методами, а также применять вычислительные устройства непрерывного и дискретного ;1ействия.

Для построения кривой переходного процесса часто используют численные и графические методы решения дифференциальных уравнений. Таких методов существует много. Применительно к задачам теории автоматического регулирования наиболее удобным оказывается численно-графический метод, разработанный Д. А. Башкировым [98, 121]. Важным достоинством этого метода является то, что он без заметных усложнений может применяться к уравнениям с переменными во времени параметрами и к нелинейным уравнениям. Кроме того, метод Башкирова позволяет с одинаковой простотой строить процессы регулирования при любых заданных внешних воздействиях, в том числе и заданных графически или в виде таблиц.

Рис. 7.2.

Для получения переходных процессов с большим успехом и весьма широко применяются также вычислительные машины. Различаются вычислительные машины непрерывного и дискретного (цифровые) действия. Они строятся на электронных, полупроводниковых и электромеханических элементах.

Для сложных автоматических систем в настоящее время этому методу отдается предпочтение. Важно отметить, что при использовании вычислительных машин часто можно обходиться без составления дифференциальных уравнений тех звеньев автоматической системы, для которых имеются действующие макеты. Тогда для остальной части звеньев набираются их дифференциальные уравнения на вычислительной машине, к которой подключаются имеющиеся действующие макеты. Это свойство можно использовать для испытания и настройки регуляторов в лабораторных условиях.

Ниже будет рассмотрена часть наиболее распространенных методов построения кривой переходного процесса. К ним относятся метод непосредственного решения линейных дифференциальных уравнений или так называемый классический метод, использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона - Хевисайда, метод трапецеидальных вещественных частотных характеристик и использование вычислительных машин.

В дальнейшем изложении будем рассматривать построение переходного процесса для ошибки х (t). Однако методика остается единой и для других случаев цостроения переходного процесса, например для отыскания у (t) при и{1)фО.

§ 7.2. Непосредственное 1)ешение исходного . дифференциального уравнения

Пусть система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью

(йор + ajj} - + . . . + йп-гр + йп) X it) =

= ФоР + Ьгр- - + ... + bm)f (t). (7.4)

Для отыскания полного решения этого дифференциального уравнения необходимо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью (t) и определить корни характеристического уравнения

flojs + aip - -{-... -Ь a iP й = 0. Как указывалось вьппе, полное решение будет иметь вид i

X it) = X, {t) + Ciei* + Сг + . . . + Сг. (7.5)

Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования Ci, . . . , С . Для этой цели используются начальные условия: при Z = О а; (0) = Жо, х (0) = ж, . . ., (0) = ж . Начальные условия накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциального уравнения (7.4). Дифференцируя уравнение (7.5) по времени п-1 раз и используя начальные условия, получают п алгебраических уравнений, куда входят п неизвестных постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений дает возможность определить искомые постоянные интегрирования С, . . ., С .

Операции вычисления корней и совместного решения алгебраических уравнений являются трудоемкими. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано довольно быстро приближенньши методами. В связи с этим использование этого метода