= -~. Знак минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке.

3. Пусть два корня, например jOg и р, представляют собой комплексные сопряженные величины с отрицательной вещественной частью, т. е. Рз, з = = - а ± 7Р- Сомножители в выражении (6.21), определяеьше этими корнями, будут иметь вид (а - jP 4- 7 ) ( + /Р + 7ю).

При со = О начальные положения двух векторов определяются точками Ai и Ai (рис. 6.7, а). Первый вектор повернут относительно оси веществен-

ных по часовой стрелке на угол = arc tg , а второй вектор

на тот

й>->-оо

Рис. 6.7.

же угол против часовой стрелки. При увеличении со от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху в бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых.

Результирующий угол поворота первого вектора ajja =-2 + Т- Результирующий угол поворота второго вектора s = --Т- Вектор, соответствующий произведению (а - /Р -Ь /со) (а 4- ур 4- /со), повернется на угол *. + s = 2-.

4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т. е. Рз, 3 = 4- а ± /Р. Проводя построения, аналогичные предыдущим (рис. 6.7, б), можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению двух сомножителей, будет

Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь I корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов

поворотов, равная - Z--. Всем же остальным п - I корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная (п- Z) -. В результате общий

угол поворота вектора Z) (/со) при изменении со от нуля до бесконечности, согласно формуле (6.22), будет

(6.23)

Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического

уравнения. В 1936 году А. В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для Л1шейных систем любого порядка.

Для устойчивости системы п-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D (/со), описывающий кршую Михайлова, при изменении со от нуля

до бесконечности имел угол поворота if =

Эта формулировка непосредственно вытекает из (6.23). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, т. е. должно быть I = 0. Отсюда определяется требуемый результирующий угол поворота вектора.

Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда 1шеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность

в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения п (рис. 6.8). Число квадрантов, большее чем п, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда сязана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора D (/со)

оказывается меньшим чем n-{jvLC. 6.9).

Сказанное выше позволяет сформулировать критерий Михайлова в несколько измененном виде. Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно п квадрантов. Поэтому корни уравнений X (со) = = О и У (со) = О должны чередоваться.)Так как кривая Михайлова всегда начинается с точки, расположенной на оси вещественных (рис. 6.8), где мнимая часть обращается в нуль: Y (coj) = У (0) = О, то при постепенном увеличении частоты от нуля до бесконечности должна обратиться в нуль сначала вещественная часть: X (03.2) = О, затем мнимая: У(ос1з)=0, затем опять вещественная: X (со4) = О и т. д., причем О = coj < сог < < 4 < - < п-

По кривой Михайлова можно судить о том, сколько корней с положительными вещественными частями содержит характеристическое уравнение данной неустойчивой системы. Для нахождения искомого числа I должна использоваться зависимость (6.23). Если известны результирующий угол поворота п

вектора <Сп- ш степень характеристического уравнения п, то в уравне-

нии (6.23) неизвестным будет только I.

При подсчете результирующего угла поворота я]) следует иметь в виду, что при четной степени уравнения кривая Михайлова стремится к бесконечности параллельно оси X и при нечетной степени - параллельно оси У. Это видно из выражений (6.18) и (6.19), так как при четной степени наивысшая степень со будет стоять в выражении X, а при нечетной - в выражении У.

Так, например, для кривой, показанной на рис. 6.9 и соответствующей п = 3, результирующий угол поворота

Отсюда имеем

о

и число корней в правой полуплоскости 1 = 1.

Наличие границы устойчивости всех трех типов может быть определено по кривой Михайлова следующим образом.

В случае границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствует свободный член характеристического полинома а = О и кривая Михайлова идет из начала координат (рис. 6.10, а).

Рис. 6.10.

При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) левая часть характеристического уравнения, т. е. характеристический полином, обращается в нуль при подстановке р = /cuq:

Z) (/ о) = X (соо) + iY (соо) = О, (6.24)

откуда вытекают два равенства:

Z(cOo)=0, 1 У(соо) = 0. }

(6.25)

Это значит, что точка со = coq на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис. 6.10, б). При этом величина соо есть частота незатухающих колебаний системы.

Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, как показано на рис. 6.10, е. При этом коэффициент о характеристического полинома (6.16) будет проходить через нулевое значение, меняя знак плюс на минус.

Необходимо помнить, что все остальные корни характеристичегкого уравнения должны иметь отрицательные вещественные части. Графически это выражается в том, что в первых двух случаях после малой деформации кривой Михайлова около начала координат (рис. 6.10), а в третьем случае при малом Оо > О кривая Михайлова должна удовлетворять критерию устойчивости.

Применим критерий Михайлова для определения устойчивости рассмотренной в предыдущем параграфе следящей системы (рис. 6.4). Из полученного характеристического уравнения определяем характеристический полином

Z) (р) = TyTv + {Ту + Т) л- р + к