Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [ 132 ] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

<4S+---+<2=- at+-..alx, . (13.49)

Это уравнение такне может быть решено с использованием преобразования Лапласа посредством нахождения оригинала изображения

где (р) - изображение у (t) нри подстановке в формулу (13.43) х = х.

Повторяя этот процесс многократно, моншо найти рекуррентное соотношение для определения к~то члена ряда (13.46):

+aUk= -Г< -+ +апХи-А . (13.50)

Ряд (13.46) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты Ui (t). Рассмотренный метод может использоваться как для пахожде-

где а? = at (&) - переменный коэффициент, зафиксированный для момента приложения входной величины Z = &.

Тогда исходное дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде

< + < +---+aU = U{t)~y{t), (13.41)

fAt)=-h{t)+-.-+bmit)f, (13.42)

y(i) = <+...+fl*x. (13.43)

Поскольку мы предположили, что коэффициенты (О меняются медленно, то функция у {t) мала по сравнению с левой частью (13.41). Эту функцию можно рассматривать как возмущение, и тогда к уравнению (13.41) можно применить метод последовательных приближений.

В уравнении (13.41) можно перейти к изображениям по Лапласу. Тогда получим

Х{р) = Ф(р)Ро{р)-Ф{р)Г{р). (13.44)

Здесь введено обозначение

Решение уравнения (13.41) или (13.44) можно записать в виде ряда x{t)=xi + x2 + xg+ .. . (13.46)

Для получения первого приближения х зафиксируем переменные коэффициенты ai (J) = Ui ф). Тогда первое приближение может быть найдено как решение дифференциального уравнения

<4--Ь---+<1 = /о(0- (13.47)

Решение этого уравнения можно получить, используя обычные методы (см. главу 7), в том числе путем нахождения оригинала, соответствующего изображению (13.44) нри Y (р) = 0:

Хг (р) = Ф (р) Fo (р). (13.48)

Для получения второго приближения в правую часть (13.41) или (13.44) подставляется первое приближение х = х, а. в левую часть -х = х + х. Тогда получается уравнение с фиксированными коэффициентами для определения поправки:



ния функции веса и переходной функции, так и для построения переходного процесса при любом известном воздействии / (t).

Численно-графический метод. Численно-графический метод Д. А. Баш-кирова [98] разработан также применительно к системам с переменными во времени параметрами, причем можно вводить любое переменное возмущающее или задающее воздействие и произвольные начальные условия.

Неоднородные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Пусть требуется построить рещение уравнения

во {t) X + ai{t)x = /i {t)

с начальным условием х = х при t = 0. Разделив его на % (f), приведем уравнение к виду

T{t)x + x=f (О,

(13.51)

о (о

1 ( )

ai(t)

Уравнение (13.51) можно решать графически, если считать Т постоянным и равным Tt-{-~ внутри каждого интервала времени {t, t + At), но различным для разных интервалов. Форму-

.j-m

ла для решения в этом случае будет


Рис. 13.5.

а процесс построения сводится к следующему. Наносим заданные кривые f {t) ж Т (t) (рис. 13.5). Из точки Е кривой / (f), взятой в середине первого интервала At, откладываем по горизонтали отрезок ЕМ =

величина которого берется равной ординате точки Н заданной кривой Т {t), т. е. тоже в середине первого интервала At. Полученная точка М соединяется прямой линией с заданной начальной точкой процесса А. В результате получается новая точка Б искомой кривой X (t). Затем аналогично берется ордината точки /, откладывается в виде отрезка FN и проводится прямая NB, дающая новую точку С решения X {t), и т. д.

Неоднородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Требуется построить решение уравнения

во (О х + а {t) X + 2 (О х = fi (t), которое можно записать также в виде

Г, {t) Tz (О x + Tz{t)x + x = f (t), (13.52)



с начальными условиями х = Хд, х Хд при = 0. Если в правой части (13.52) имеется операторное выражение, то предварительно производим вычисление правой части и сводим ее к / (t).

Если обозначить х = (t) х, то уравнение (13.52) разобьется на два:

Ti {t)xi + xi = f{t)-{t) T2it)xxi,

q>it)x-Ts{t)x, Ts{t)=Ti{t) a начальные условия будут

X = Хо, Xl = xio = Tz (0) Хо при

t = 0.

(13.53)

(13.54>

Формулы для решения уравнений (13.53) согласно [64, 78] будут


Ах At

1 Jt+At) TAt + At)

(13.55)

-4-Ф

f(t)

\{t)

&t

причем во второй из формул (13.55) значения Ах берутся со сдвигом на At!2 вправо по сравнению с Ах.

Отсюда вытекает следуюп,ее построение. Наносим заданные кривые Щ и (t), а также кривую Гд (t), ординаты которой определяются по второй из формул (13.54). Они показаны на графике (рис. 13.6, а).

На другом графике наносим заданное / (t) (рис. 13.6, б). На основании заданных начальных условий (см. выше) наносим на последнем графике точки Хо, и в середине первого интервала At (как в § 7.6) еще точку А с ординатой (7.76), т. е.

Рис. 13.6.

= Хо + -

-Хд.

Из точки El в середине первого интервала At на кривой / (t) откладываем вниз отрезок

(вниз, когда он положителен, и вверх, когда он отрицателен). При этом величина х берется как ордината уже имеющейся точки А, величина

Уз- берется из графика Т (t), а величина Xq - из заданных начальных



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [ 132 ] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254