![]() |
![]() |
Главная -> Логарифмическое определение устойчивости <4S+---+<2=- at+-..alx, . (13.49) Это уравнение такне может быть решено с использованием преобразования Лапласа посредством нахождения оригинала изображения где (р) - изображение у (t) нри подстановке в формулу (13.43) х = х. Повторяя этот процесс многократно, моншо найти рекуррентное соотношение для определения к~то члена ряда (13.46): +aUk= -Г< -+ +апХи-А . (13.50) Ряд (13.46) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты Ui (t). Рассмотренный метод может использоваться как для пахожде- где а? = at (&) - переменный коэффициент, зафиксированный для момента приложения входной величины Z = &. Тогда исходное дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде < + < +---+aU = U{t)~y{t), (13.41) fAt)=-h{t)+-.-+bmit)f, (13.42) y(i) = <+...+fl*x. (13.43) Поскольку мы предположили, что коэффициенты (О меняются медленно, то функция у {t) мала по сравнению с левой частью (13.41). Эту функцию можно рассматривать как возмущение, и тогда к уравнению (13.41) можно применить метод последовательных приближений. В уравнении (13.41) можно перейти к изображениям по Лапласу. Тогда получим Х{р) = Ф(р)Ро{р)-Ф{р)Г{р). (13.44) Здесь введено обозначение Решение уравнения (13.41) или (13.44) можно записать в виде ряда x{t)=xi + x2 + xg+ .. . (13.46) Для получения первого приближения х зафиксируем переменные коэффициенты ai (J) = Ui ф). Тогда первое приближение может быть найдено как решение дифференциального уравнения <4--Ь---+<1 = /о(0- (13.47) Решение этого уравнения можно получить, используя обычные методы (см. главу 7), в том числе путем нахождения оригинала, соответствующего изображению (13.44) нри Y (р) = 0: Хг (р) = Ф (р) Fo (р). (13.48) Для получения второго приближения в правую часть (13.41) или (13.44) подставляется первое приближение х = х, а. в левую часть -х = х + х. Тогда получается уравнение с фиксированными коэффициентами для определения поправки: ния функции веса и переходной функции, так и для построения переходного процесса при любом известном воздействии / (t). Численно-графический метод. Численно-графический метод Д. А. Баш-кирова [98] разработан также применительно к системам с переменными во времени параметрами, причем можно вводить любое переменное возмущающее или задающее воздействие и произвольные начальные условия. Неоднородные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Пусть требуется построить рещение уравнения во {t) X + ai{t)x = /i {t) с начальным условием х = х при t = 0. Разделив его на % (f), приведем уравнение к виду T{t)x + x=f (О, (13.51) о (о 1 ( ) ai(t) Уравнение (13.51) можно решать графически, если считать Т постоянным и равным Tt-{-~ внутри каждого интервала времени {t, t + At), но различным для разных интервалов. Форму- .j-m ла для решения в этом случае будет ![]() Рис. 13.5. а процесс построения сводится к следующему. Наносим заданные кривые f {t) ж Т (t) (рис. 13.5). Из точки Е кривой / (f), взятой в середине первого интервала At, откладываем по горизонтали отрезок ЕМ = величина которого берется равной ординате точки Н заданной кривой Т {t), т. е. тоже в середине первого интервала At. Полученная точка М соединяется прямой линией с заданной начальной точкой процесса А. В результате получается новая точка Б искомой кривой X (t). Затем аналогично берется ордината точки /, откладывается в виде отрезка FN и проводится прямая NB, дающая новую точку С решения X {t), и т. д. Неоднородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Требуется построить решение уравнения во (О х + а {t) X + 2 (О х = fi (t), которое можно записать также в виде Г, {t) Tz (О x + Tz{t)x + x = f (t), (13.52) с начальными условиями х = Хд, х Хд при = 0. Если в правой части (13.52) имеется операторное выражение, то предварительно производим вычисление правой части и сводим ее к / (t). Если обозначить х = (t) х, то уравнение (13.52) разобьется на два: Ti {t)xi + xi = f{t)-{t) T2it)xxi, q>it)x-Ts{t)x, Ts{t)=Ti{t) a начальные условия будут X = Хо, Xl = xio = Tz (0) Хо при t = 0. (13.53) (13.54> Формулы для решения уравнений (13.53) согласно [64, 78] будут ![]() Ах At 1 Jt+At) TAt + At) (13.55)
причем во второй из формул (13.55) значения Ах берутся со сдвигом на At!2 вправо по сравнению с Ах. Отсюда вытекает следуюп,ее построение. Наносим заданные кривые Щ и (t), а также кривую Гд (t), ординаты которой определяются по второй из формул (13.54). Они показаны на графике (рис. 13.6, а). На другом графике наносим заданное / (t) (рис. 13.6, б). На основании заданных начальных условий (см. выше) наносим на последнем графике точки Хо, и в середине первого интервала At (как в § 7.6) еще точку А с ординатой (7.76), т. е. Рис. 13.6. = Хо + - -Хд. Из точки El в середине первого интервала At на кривой / (t) откладываем вниз отрезок (вниз, когда он положителен, и вверх, когда он отрицателен). При этом величина х берется как ордината уже имеющейся точки А, величина Уз- берется из графика Т (t), а величина Xq - из заданных начальных
|