Для случая, изображенного на рис. 14.9, б, размыкание главной цепи дает выражение передаточной функции разомкнутой системы, неудобное для дальнейших исследований:

Wzif)

W{p) = Wi{p)

-:F.W,{p).

l + Wz{p)W3(p) e-p

В этом случае удобнее разомкнуть систему по цепи местной обратной связи. Тогда передаточная функция разомкнутой системы приобретает вид, совпадающий с (14.72):

Wzip)

W(p):

i + Wz{p)Wi {p)W{p)

Ws (p) e-r.\

Наконец, в случае, изображешюм на рис. 14.9, в, при размьжании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (14.72):

W (р) = W (р) е- Wap)Wi(p)

vvp) YVs\p)e r+w{p)Wi(p)Wz(py

Заметим, что при наличии характеристического уравнения, записанного в виде (14.70), передаточная функция разомкнутой системы может быть записана сразу в виде (14.72), без нахождения места размыкания на структурной схеме. Записанное в таком виде выражение может быть использовано далее для исследования устойчивости.

Частотную передаточную функцию (14.72) можно представить в виде

W (/со) = Wo (/со) е-з. (14.73)

Кроме того.

Wo (/со) = Ао (со) еМ ), (14.74)

где Aoiiii) - модуль и (со) - фаза (аргумент) системы без запаздывания. Модуль второго сомножителя (14.73) равен единице, а его аргумент равен Аф = сот. Поэтому, представив выражение (14.72) в виде

W (/со) = А (со) ез*( ).

Рис. 14.10.

получаем значение модуля результирующей частотной передаточной функции

i W (/со) 1 = Л (со) = 0 (со) (14.75) и фазы

ф (со) = 4l3o (со) - сот. (14.76)

Таким образом, наличие звена с запаздьшанием не меняет модуля и вносит только дополнительный фазовый сдвиг.

На рис. 14.10 изображена амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая (14.74). Сплошной линией показана исходная характеристика при т = О, а пунктиром - характеристика, которая получается при наличии постоянного запаздывания т = 0.

Из этих характеристик видно, что наличие дополнительного фазового сдвига Дч5 = сот закручивает годограф, особенно в высокочастотной части, по часовой стрелке. Это, вообще говоря, ухудшает условия устойчивости, так как вся кривая приближается к точке (-1, /0). Иногда в особых случаях, при сложной форме годографа Wo (/со), введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости.

По имеющемуся годографу Wg (/со) можно определить критическое значение времени запаздывания т = тр, при котором система оказывается на границе колебательной устойчивости.

Для этой цели на годографе Wq Осо) отыскивается точка, для которой модуль равен единице (рис. 14.10). Частоту, соответствующую этой точке, обозначим coi, а фазу - ф. При введении постоянного запаздывания т = Ткр условие совпадения этой точки с точкой (-1, /0) запишется следующим образом:

ф1 - coiTkp = -я.

(14.77)

откуда критическое значение запаздывания

Если подобных опасных точек будет несколько, то необходимо сделать расчеты для всех точек и взять наименьшее значение т р.

Заметим, что частота со равна частоте среза л. а. х., coi= ср (см., например, рис. 4,10 или 6.25). Поэтому нахождение со иф удобно делать при

наличии построенных л. а. х. и л. ф. х. В этом случае, вообще, расчеты по определению устойчивости могут совмещаться с определением качества системы частотньши методами.

Л. а. X. системы с запаздыванием совпадает с л. а. х. исходной системы (без запаздывания). Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении л. ф. х. системы с запаздыванием, определяется (14.76).

В некоторых случаях могут использоваться аналитические расчеты. Так, например, рассмотрим статическую систему с одной постоянной времени. Частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

0.6 ОЛ

Область (стайчи-Socmu

10 12 П К

Рис. 14.11.

Приравняем модуль единице:

У1 1 Ш2Г2

Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке:

(14.78)

COj:

Фазовый сдвиг на этой частоте

ф1= - arctg cOjT

-arctg УК - 1. По формуле (14.77) находим критическое запаздывание:

п-arctg У/f2 1 я-arctg Ук - !

(14.79)

По этому выражению на рис. 14.11 построена область устойчивости в координатах общий коэффициент усиления - относительное запаздывание .

Рассмотрим более сложный случай астатической системы с одной постоянной времени когда частотная передаточная функция разомкнутой

Приравняем модуль единице:

Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке:

Фазовый сдвет на этой частоте

iji = -J - arctg coif = - f arctg YV + -1

Критическое запаздывание на основании формулы (14.77)

=- = -, -у. (14.81)

Если Г = О, то из последней формулы, сделав предельный переход.

находим

Пусть = 10 сек~ ж Т = 0,2 сев. Тогда критическое запаздывание, при котором система теряет устойчивость,

TKp = i:fg 0,2 = 0,116 сеп,

а при Г = 0

Tkp = -j = 0,157 сев.

Оценку качества регулирования в системах с запаздыванием удобнее всего производить при помощи частотных критериев качества (§ 8.5 и § 8.9). Запас устойчивости можно определять по величине показателя колебательности, а быстродействие - по полосе пропускания. Как и в случае систем без запаздывания, заданное значение показателя колебательности будет получено, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы, построенная по выражению (14.73), не будет заходить в запретную зону, окружающую точку (-1, /0), что изображено на рис. 8.27. Для расчета могут применяться логарифмические характеристики (рис. 8.30).

Построение переходных характеристик удобнее всего производить при помощи вещественных частотных характеристик (§ 7.5). .

Для построения переходного процесса могут применяться графические и численно-графические методы, а также вычислительные машины.

системы имеет вид