Графически этот закон распределения изображен на рис. 11.2. Он представляет собой равновероятное распределение в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6).

В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться в аналитической форме.

Примером аналитического задания закона распределения дискретной случайной величины является часто используемый закон Пуассона. Он применим к дискретным случайным ве-

личинам, которые теоретически могут принимать все положительные значения от О до оо. Примерами таких гвеличин могут служить, число пассажиров вагона трамвая, число вызо- .bob на телефонной станции в течение какого-либо определенного отрезка времени, число электронов, попадающих на анод электронной лампы за определенный промежуток времени, и т. п. Этот следующим образом для целых значений числа х:

М 1 I И

f 2 3 4 S 6

Рис. 11.2.

закон записывается

(11.3)

где Р (х) - вероятность появления значения х; К представляет собой среднее значение данной дискретной величины, полученное по результатам большого числа опытов.

Графически этот закон имеет вид, изображенный на рис. 11.3, причем место максимума зависит от величины X.

В качестве одного из примеров рассмотрим функцию у (t), которая может принимать одно из значений -fa или -а (рис. 11.4).

Предположим, что среднее число перемен знака в единицу времени этой функции равно р, и что вероятность перемены знака на интервале {t, t + At)

2 4

Б 8 10 Рис. 11.3.

12 tt lb

Рис. 11.4.

не зависит от того, что происходит в остальные моменты времени. Тогда вероятность перемены знака на интервале At составит ц At i. Вероятность того, что на интервале At не произойдет перемены знака, будет (1 - Д).

Если взять два интервала времени At, то вероятность отсутствия перемены знака на двух интервалах будет равна произведению вероятностей и составит (1 - р, At). Для трех интервалов она составит (1 - Д) и т. д.

Возьмем теперь конечный интервал времени Т, который можно предста-аить в виде Т = п At. Тогда вероятность отсутствия перемены знака на этом интервале можно найти из выражения

Р (0) = lim (1 - цД*) == lim (1 - nAt) * = е- .

At->0 At-vO

Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, среднее значение, подсчитанное по формуле (11.5), дает

х = к.

Основные свойства среднего значения случайной величины следующие. 1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин:

x+y-\-z+ =x + y + z+ ...

2. Среднее значение произведения случайных величипн, независимых друг от друга, равно произведению средних значений тих величин:

xyz ... - ху 2 .

Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин.

В виде обобщения понятия среднего значения (11.5) отметим, что выражение

==М[х ]= xTPi (11.6)

называется моментом т-то порядка случайной величины .г.. В частности.

Аналогичным образом можно показать, что вероятность одной перемены знака на интервале Т будет Р {i) = ]хТ e~, вероятность двух перемен

знака Р (2) = -- e~ и т. д.Следовательно, вероятность х перемен знака

на интервале времени Т будет определяться выражением

Р{) = е--г, (11.4)

которое совпадает с формулой (11.3), если положить в ней к = \у.Т, где р,Г - среднее число перемен знака на интервале времени Т, которое будет наблюдаться при многократном повторении наблюдения.

Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, для практики нужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.

Одной из таких характеристик является среднее значение, или математическое ожидание, случайной величипны. Оно определяется из выражения

x = M[x\=XiPi. (11.5)

г==1

Так, например, для случая бросания игральной кости

г=2 -.р.=(14+24-ьз4-ь44+54+б4)=

= 4 (1 + 2-ЬЗ + 4-Ь5 + 6) = =3,5.

Вообще для равновероятного закона распределения (11.5) превращается в формулу

Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины Хр = X - X, где X - среднее значение. Тогда аналогично формуле (11.6) можно ввести понятие центрального момента т-го порядка

M[(x--x) ]=Z {хг-ГРг- (11-7)

.1=1

Из формулы (11.7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины.

Если X - случайная величина, ах - среднее значение этой величины, то величина х - х есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина х.

Средним отклонением Д называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т. е.

Д = М[.r-]=--.r-.r = S \xi~x\Pi. (11.8)

. Заметим, что -без знака абсолютного значения было бы

X-х = х-х=0.

Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости 6

Д=2 (, :P, = .l-[6-3,5 + 5-3,5H-4-3,5 + 3-3,5 +

+ 2-3,51-Ы1-3,5] = (2,5+1,5 + 0,5-Ь0,5-Ь1,5-Ь2,5) = 1,5.

Среднее отклонение случайной величины является уже не случайной величиной, а обычным числом.

Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка

D = M[{x-x) = {x-x)=J {xi - xfPi. (11.9)

момент нулевого порядка выражает свойство (И.2), и он всегда равен единице:

со оо

г=1 i=l

Момент первого порядка есть среднее значение, (математическое ожидание) случайной величины (И.5). Момент второго порядка

=Z4Pi

есть средний квадрат случайной величины.

Часто используется так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины: