\ } \ дхз } ( dP \0 { OF \0

= ф(/, /)-Ф(Л 0).

(3.8)

Тогда уравнение (3.5) примет вид

ГДжз + TlAxa 4- Г1 Джз + Джз = feiДж1 + hx. + kgAx + hfi (t). (3.9)

допустима линеаризация, тем шире, чем ближе кривая СВ к прямой CD. Последним обстоятельством и определяются практически в каждой задаче те границы, внутри которых отклонения можно считать достаточно малыми .

В ряде задач отличие от линейности, показанное на рис. 3.2, б, бывает столь незначительным, что даже в сравнительно большом диапазоне отклонений Ai можно считать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейной зависимости [линеаризация будет справедлива лишь на соответствующем более узком участке отклонений Дж. Линеаризация может быть совершенно недопустимой при скачкообразных зависимостях (релейные характеристики, сухое тренм-в). Такого рода зависимости называются существенно нелинейными.

Важно отметить следующее. Если по указанным причинам не. может быть подвергнуто линеаризации уравнение только одного звена системы или даже только часть функции F для данного звена, то производят линеаризацию всех остальных, нелинейных зависимостей, оставляя только одну или несколько существенно нелинейных.

Второй способ линеаризации. Из приведенной геометрической иллюстрации вьггекает другой способ линеаризации уравнений системы автоматического регулирования, который весьма часто применяется на практике. Этот способ заключается в том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной в соответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными.

В последующих главах разделов II и Ш будут использоваться линеаризованные уравнения динамических звеньев. Однако для упрощения записи значок Д перед переменными {t), х {t) и т. д. будет опускаться в предположении, что эти переменные представляют собой малые отклонения от некоторого установившегося состояния и линеаризация уравнений уже проделана.

§ 3.2. О записи линеаризотванных уравнений звеньев

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения звеньев в двух стандартных формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (3.5) к такому виду, введем обозначения:

§ 3.2]

О ЗАПИСИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

В случае, если нелинейная функция F не содержит величины лгд, а содержит только ее производные, т. е. если

в формулах (3.8) необходимо заменить ()°на (4-)**- В результате полу-чится уравнение

ГгДжз + + Джз = kiXi + АгДжг + /сдАжг + kJi {t).

(3.10)

тМХ-Л-)\ Г=(Г:{-Г, ... teg ез

Уравнения (3.9) и (3.10) удобнее записывать в символической форме,

введя алгебраизированный оператор дифференцирования Р = Тогда

уравнение (3.9) примет вид

(Гр + Гр + + 1) Джз = к Дж1 + (2 + к) Джа + fe/i (О, (З-И)

а уравнение (3.10) -

(Тр + TiP + 1) р Джз = Дх1 + (Й2 + зР) А2 + io/i (*). (3.12)

Эти записи надо рассматривать только как сокращенную форму более полных записей (3.9) и (3.10).

Стандартные формы записи уравнений звеньев автоматических систем (3.9) и (3.10) или их сокращенные виды (3.11) и (3.12) можно использовать как для размерных отклонений реальных величин на входе и выходе звена, так и для любых безразмерных относительных отклонений, специально иногда вводимых для упрощения вида уравнений и удобства их исследования. При записи уравнений в стандартной форме коэффициенты fei, fea, Аз, называются коэффициентами передачи, а Т, - постоянными времени данного звена. .

В случае звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, для коэффициентов передачи используются также следующие термины:

1) коэффициент усиления - для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель;

2) передаточное число - для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. д.

Термин коэффициент передачи можно пояснить следующим образом. Если подать на вход звена только постоянное значение Дл:

(рис. 3.3, б) и найти установившееся значение [выходной величины Аж* (рис. 3.3, е), то из (3.9) получим Ах1 = к Аж . Таким образом, коэффициент ki показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме.

Следовательно, коэффициент передачи определяет собой наклон (с учетом масштабов по осям) линейной статической характеристики звена

Рис. 3.3.

(рис. 3.3, а). Заметим, что нелинейную характеристику звена часто называют характеристикой с неременным по входной величине коэффициентом передачи. Из (3.9) очевидно, что

, размерность выходной величины Лжо

размерность кл =----=-т-2-,

размерность входной величины Akj

В размерность коэффициента передачи может входить также время t. Так, из уравнения (3.9) следует, что

,размерность Лжо х размерность t

размерность кз = ---- . -,

размерность Лжз

а из уравнения (3.10) следует, что для такого звена

, размерность Ажо

размерность kt =---~--г-

* размерность Akj х размерность t

Постоянные времени Т, и Тд, как следует из уравнений (3.9) и (3.10), имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования

р = т: алгебраической величиной, решим уравнение (3.11) относительно

выходной величины:

3(4- i+Tip+np+npS i- 1+у,р+ур2+грЗ . i+TiP+Tlp+TlpS - Выражения

называются в теории регулирования передаточными функциями. Уравнение (3.13) можно представить в виде

Джз (t) = Wi (Р) Aai (t) + ip) Ax (t) + Wf ip) и it). (3.17)

Выражения (3.13) и (3.17) представляют собой символическую запись дифференциального уравнения (3.9).

Передаточные функции, формулы для которых устанавливаются выражениями (3.14) - (3.16), вводятся для сокращения записи дифференциальных уравнений и также представляют собой символическую запись дифференциальных уравнений.

Более строго передаточная функция определяется через изображения Лапласа или Карсона - Хевисайда (см. главу 7). Если ввести изображения, например по Лапласу, входных и выходных величин звена:

AXj (s) = L [Дж1 [t)], ДХ2 (s) - L [Дж2 (t)], AX, [s) = L [Ax, it)], is) = L [f, {t)l

где s = с + Ja - комплексная величина, то передаточную функцию (3.14) можно строго определить как отношение изображений выходной и входной величин звена:

()=-Шг- i+T,ss+nsS . (3-18)

при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях на звено; ДХ2 (s) = О и (s) = 0. Аналогичным образом можно определить