операторный метод Хевисайда, который, по сути дела, использовал преобразования (7.21) и (7.22).

Кроме того, удобство преобразования Карсона - Хевисайда заключается в том, что изображение постоянной величины А, точнее, ступенчатой функции АЛ {t), равно самой постоянной величине, что легко доказывается использованием выражения (7.21). Поэтому во многих случаях преобразование Карсона - Хевисайда сливается с операторной записью дифференциальных уравнений.

Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсона-Хевисайда заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются алгебраическими действиями по отношению к изображениям.

В табл. 7.2 приведены основные формулы и свойства изображений Лапласа и Карсона - Хевисайда. Изображение Фурье может быть получено из изображения Лапласа подстановкой р = 703.

Формулы для дифференцирования и интегрирования оригинала даны для случая нулевых начальных условий.

Для ненулевых начальных условий из (7.17) можно получить изображение по Лапласу производной оригинала (s заменено на р):

оо оо

lf{t)e-dt = e-f(t)\°° + p\f{t)e-4tpF{p)~f{Q\ (7.24)

где F [р) - изображение самой функции. Аналогично для второй производной

L [fit)] = pF ip) - pf (0) - /(0) (7.25) и для производной любого порядка

L [Г (Щ = pF (р) - р -*/ (0)- ... (0). (7.26.) При нулевых начальных условиях

L [fy (t)] = (р) - (7.27)

r{t)pF{p), (7.28)

т. е. операция дифференцирования оригинала заменяется для изображения умножением на комплексную величину р.

Аналогично для преобразования Карсона - Хевисайда

Г {t)p(9{p)~pf{0), (7.29)

Г() = рХ/)-р7(0)~...-рГ- (0). (7.30)

При нулевых начальных условиях

ГЧ<) = рХр)-

Аналогичным образом можно найти изображение интеграла от функции времени:

j/(t)*=[F(p)+ /<- ], (7.31)

где /д представляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31), при t = 0:

Наименование

Оригинал

Изображение Лапласа

Изображение Карсона- Хевисайда

Свойство линейности

Теорема подобия Теорема запаздывания

Теорема смещения в комплексной плоскости

Правило дифференцирования при нулевых начальных условиях

Правило интегрирования при нулевых начальных условиях

Теорема о конечном значении

Теорема о начальном значении

Единичная импульсная функция

Единичная ступенчатая функция

Неединичная функция

Ступенчатая

Af[f) А (О+ /2 (О

/ (*-то) е- / (t)

/( ) (t)

/(0) 6(i)

1(0 A.i(t)

Для нулевых начальных условий выражение (7.31) упрощается:

т. е. интегрированию по времени оригинала соответствует деление на изображение на комплексную величину р.

Рассмотрим теперь использование изображений для решения дифференциального уравнения

D (р) x(t)N (р) f (t) . (7.32)

на примере преобразования Лапласа.

Таблица 7.2

Преобразования Лапласа и Карсона - Хевисайда

Перейдем в левой и правой частях (7.32) к изображениям Лапласа.

При этом оператор дифференцирования Р - полиномах D (р) ш. N (р)

заменяется на комплексную величину р = с + /со, а вместо оригиналов x(t) и / (t) появляются их изображения X (р) ж F (р). В результате получаем

D{p)X(p)-Do(p)= N{p)F(p),

где Dq (р) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия. Отсюда находится изображение искомой величины:

--Щр) Д -33)

Последнеевыражение требует некоторых пояснений в связи с различными возможными трактовками понятия начальных условий. Интегральное преобразование Лапласа (7.17), следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене на р):

F(p) = ]im f f,(it) е- * dit. (7.34)

Это дает возможность введения двух несколько отличающихся понятий преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона - Хевисайда).

1. Преобразование Лапласа по начальным условиям справа. Если в выражении (7.34)?нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь положительным (а > 0), то в изображении производной (7.26) следует брать нача.дьные условия при i = -f- О, т. е. для момента времени, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий. В этом случае

L imt)] =Jp F (р) - (p) -V (+0) - ... - (+0).

Для использования последней формулы необходимо знание начальных условий справа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета по формулам § 7.3. Заметим, что даже в тех случаях, когда до приложения воздействия система находилась в покое, начальные условия справа могут быть ненулевыми и полином Do (р), как правило, отличен от нуля.

Кроме того, если рассматриваемая функция времени / (t) имеет при t - О особенности типа б-функции, то зто обстоятельство не будет учтено в найденном изображении. Так, например, изображение самой б-функции и ее производных оказывается при этом равным нулю:

(со оо

j б (<) е- * dit - J 6g?( ) е- dt = 0. +0

2. Преобразование Лапласа по начальным условиям слева. Если в формуле (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а < 0), то в выражении для изображения производной (7.26) следует брать начальные условия при t = - О, т. е. для момента времени, который будет непосредственно предшествовать моменту приложения воздействия. Такие начальные условия называются также предначалъными. В этом случае

L1Г (t)] = pF ip) ~(-0)- ... -(-0).

Расчет получается] более простым, так как предначальные условия долншы быть известны всегда и никаких дополнительных операций здесь