ill-

L(co) = 201g- ii,-4-201g

Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем. Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис. 4.18.

Аналогичным образом строится л. ф. х. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18.

В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутой системы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеет общий вид построение л.а.х. и л.ф.х. можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределах от О до 4- оо.

Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным л. а. х. и л. ф. X. Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива или нейтральна. Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка.

Как следует из рис. 6.16, 6.18 и 6.19, в абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения гр = - 180° только при модулях.

20 дб/дек вверх и в точке Z) - на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек.

Аналогичное построение л. а. х. может быть сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который должен быть равен г-20 дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами о = 1 сек и L (о) = 20 Ig Кг или по точке пересечения асимптоты с осью частот (осью, нуля децибел), которая имеет координаты (и = /Кг и L (со) = 0.

Выражение для фазового сдвига (6.35) в рассматриваемом примере приобретает вид

т1,((о) = - 90° - arctg С0Г1 4- arctg оТ,- 2 arctg С0Г3 =

= 90° 4- -ф 4- If 2 + 2я])з. (6.37)

Каждый из углов гр, ipg, ips представляет, по сути дела, одну и ту же зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно построить, например, только зависимость 115 = - arctg aTi (см. рис. 6.25). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.37).

Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (6.34). Если числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, то в выражениях (6.34) и (6.35) появятся члены, имеющие соответственно вид

Y(l - соГ) 4- 4Гсо2 и arctg j-. В этом случае для построения

л. а. X. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням.- Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содержится колебательное звено, то вместо выражения (6.34) можно записать

меньших чем единица, а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг Может достигать - 180° четное число раз (два, четыре и т. д.).

Это позволяет легко определить устойчивость по виду л. а. х. и л. ф. х. разомкнутой системы. На рис. 6.26, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения л. а. х. с осью нуля децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения = - 180° (точка 2).

Рис. 6.26.

На рис. 6.26, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения = - 180° дважды при модулях, больших чем единица (точки 3 и 4). На рис. 6.26, в изображен случай колебательной границы устойчивости ia на рис. 6.26, г - случай неустойчивой системы.

Л. а. X. и л. ф. X., построенные в качестве примера на рис. 6.25, соответствуют устойчивой системе.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, а также для систем, имеюпих астатизм любого порядка, требования к л. ф. х. всегда можно сформулировать на основании вида амплитудно-фазовой характеристики, соответствующей устойчивой системе.

Так, например, для системы с аста-fM тизмом третьего порядка в случае устойчивой в разомкнутом состоянии системы (см. рис. 6.20) л. ф. X. должна проходить так, как зто изображено на рис. 6.27. Фазовая характеристика при низких частотах начинается со значения фазового сдвига ф = -- 270°. Затем фазовый сдвиг уменьшается по абсолютному значению так, чтобы if > - 180°. Фазовая характеристика должна затем обогнуть точку пересечения л. а. X. с осьюнуля децибел (точку 1), после чего фазовые сдвиги могут быть любыми по величине.

Аналогичным образом можно сформулировать требования к л. ф. х. и в других случаях.

Иногда для определения устойчивости пользуются не л. а. х. и л. ф. х а логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы, построенной в координатах модуль в децибелах - фаза или модуль

Рис. 6.27..

в децибелах - запас по фазе (см. рис. 4.12). Для устойчивой системы эта характеристика должна обогнуть справа точку с координатами L (со) = О иф = - 180° (или [I = 0). На рис. 4.12 изображена характеристика, соот-ветствуюпая устойчивой системе.

§ 6.7. Устойчивость двумерных систем с антисимметричными связями

В практике встречаются двумерные системы регулирования с антисим-метричными связями. Структурная схема такой системы изображена на рис. 6.28. Она содержит два идентичных канала с одинаковыми передаточньь ми функциями Wq (р) = Wi {р) W2 {р) и антисимметричные связи. К такому

Зг Y/

ImW (jw)

ReWo(Jw)

Ц(р1

Рис. 6.28.

Рис. 6.29.

виду сводятся некоторые гироскопические устройства, двухканальные системы слежения и др.

Матрица-столбец выходных (регулируемых) величин связана с матрицей-столбцом ошибок выражением

= W {p) X.

\I + W{p)\ =

= {l + Wo) + aWl=0.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

i + Wo aWo

-aWo l + Wo

Здесь / - единичная матрица 2x2.

Уравнение (6.39) можно представить в другом виде:

(Wo - К) (Wo - К) = о,

где корни уравнения (6.39)

1. 2 = -

(6.38)

(6.39)

(6.40)

(6.41)

Исследование (6.40) сводится к рассмотрению двух уравнений: Wo - - 1 = О и Wo - 2 = 0. Формально здесь может быть использован, например, критерий Найквиста, но вместо точки комплексной плоскости (-1, /0), которая соответствует обычной записи характеристического уравнения W + -Ь 1 = О, необходимо рассматривать две точки, соответствующие комплексным числам и

На рис. 6.29 изображена комплексная плоскость, на которой построены а ф. X. частотной передаточной функции Wo (/ ) и комплексные числа, соответствующие \ и ?i,2- Замкнутая система будет устойчивой, если а. ф. х.