условий. Из полученной точки откладываем горизонтальный отрезок

размер которого берется из графика (if). Точку М соединяем прямой линией с точкой Жщ, что дает новую точку кривой {() при t = At. Из точки откладываем вниз отрезок

HJizx[-),

рав1шй ординате точки А. Из точки Е. проводим горизонтальный отрезок

НК = Т, {At),

размер которого берется из графика Т, {t). Точку К соедивяем с точкой Л, что дает новую точку Б искомой кривой х (t) в середине второго интервала At.

Опишем еще второй шаг ивтегрировавия. Из точки Fj кривой / (f) в середине второго интервала At откладывается вниз отрезок

FiFz = At + ) = - Гз ( +) tg а.,

где Xs - ордината точки Б, полученной выше; tg а, - тангенс угла наклона

прямой КА, проведенной ранее (он дает требуемое значение х). Откладываем отрезок

FzN = Ti(At + )

и проводим прямую NHi, получая при этом новую точку кривой х (f). Из точки /j откладываем вниз

а затем вправо

IL = Tz {2At),

после чего проводим прямую ЬБ. Это дает новую точку С искомой кривой X (t) и т. д. Все описанные построения можно заменить числовыми расчетами.

§ 13.3. Передаточные функции , . . .

Связь между входной и выходной величинами в системе с переменными параметрами определяется интегральной зависимостью (13.9):

a;(f)=i j ii7 ( -&, )/( )йй. о

Предположим, что к входному сигналу / (t) можно применить преобразование Фурье (7.15). Тогда его можно представить в виде (7.16):

/(г) = j jP(/o))ei< *da).

- оо

Объединяя записанные выше две формулы, получаем

t +00

x{t)== wit-Q, &)db± F (/о) ei< * (13.56)

= I W (/0), t) F (/CO) ei da. (13.57)

Здесь введена частотная передаточная функция системы с переменными параметрами

H(j(o, *)= j ;(*-&,&) е- * -*) d*. (13.58)

- 00

Ее можно представить также в следующем виде:

W (/О), t)=\ w{Q,t-Q) е-< dQ, (13.59)

где 6=3* - & - реверс-смещение, а w {Q, t - Q) - сопряженная функция веса (13.7).

Величина, находящаяся в правой части (13.57) под знаком интеграла, представляет собой изображение Фурье функции времени х (t). Поэтому вместо (13.57) можно записать

X (/(О, t) = W (/(О, t) F (/to). (13.60)

Таким образом, изображение Фурье выходной величины системы с переменными параметрами можно представить как изображение Фурье входной величины, умноженное на частотную передаточную функцию. Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры, заключается в том, что выражение (13.60) записано для некоторого фиксированного момента времени t = const. В связи с этим в частотную передаточную функцию W {jbi, t) входит параметр t, вследствие чего она называется параметрической частотной передаточной функцией.

Переходя в формуле (13.57) к преобразованию Лапласа, получим

=t)-\{Ft)PiP) dp, (13.61)

где параметрическая передаточная функция f 00

W{p,t)= j w(г -&, Щ е-Р(-*)d# = j и;(В, t- В) е-ре да. (13.62)

-оо о

Отыскание параметрической передаточной функции. Использование интегральной связи (13.62) для нахождения параметрической передаточной функции является нерациональным, так как требует знания функции веса, что усложняет задачу. Более удобно находить параметрическую передаточную функцию непосредственно из исходного дифференциального уравнения (13.1). Положим в нем /(f) = Ь {t - &). Тогда решение этого уравнения будет соответствовать функции веса w - w (t - &). Подставим эти

Здесь в первом интеграле нижний предел взят равным -оо. Это отражает тот факт, что входное воздействие может начаться в любой момент времени при f <С О, в том числе и при t ->- -оо. Меняя в (13.56) порядок интегрирования и умножая правую часть на е** e-i* = 1, получаем

+ов t

{t) = - J F(jco)eJ d© J w{t-d, д)е-М -*)да =

-oo -oo

13.3]

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

значения в (13.1):

-\-...+b{t)J6{t--&). (13.63)

о (t)

= am

Умножим левую и правую части (13.63) на е* и проинтегрируем по О в пределах от -оо до f:

[ J (*-. Щ d ] + ... + в (О [ { wXt-, ЩеР df =

= [bo (t) Р + ... + (01 (13.64)

На основании (13.62) величины, находящиеся в квадратных скобках, можно представить в следующем виде: t

- oo

В результате вместо (13.64) можно записать о (*) -§г [W {Р, t) еР1 +...+a {t) [W [р, t) ePl =

Продифференцировав левую часть и сократив на е*, получим

A(p,t)Wip,t) +

1 drA dW

(13.65) (13.66)

(13.67)

и! dp

Здесь введены обозначения:

Л (р, О = flo ( ) Р + . - + (0. 5 (р, f) = 6о (О Р + . . + 6т (О-

Таким образом, параметрическая передаточная функция может быть получена в результате решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (13.66).

Заметим, что в системах с постоянными параметрами передаточная функция не зависит от времени и уравнение (13.66) приобретает вид

A{p)W{p)=B (р). (13.68)

Передаточная функция в случае постоянства параметров будет

В(Р) Ьор-+...+br,

W{p):

(13.69)

В случае переменных параметров уравнение (13.66) может быть решено методом последовательных приближений [1181. Для этого представим его в виде

А ip, t) W (р, t)=B (р, t) N{W (p, 0}. (13.70)

dA dW , ,1 d-A d-m -

N{W{p,t)}=-

n\ dp> dt J

.dp dt Будем искать решение в виде ряда

W{p, t) = Wo (р, О + Wi (p. О + - -

Первое приближение можно получить, положив iV = О в (13.70):

(13.71) к(13.72)