вынужденных колебаний (М ). Подставляя (Af ) в (21.88) и (21.39), получаем зависимости

Р (х\ М ) и ж {М°). (21.40)

Эти зависимости представляют самостоятельный интерес, так как ими определяется статическая ошибка (а для астатической системы - установившаяся ошибка при постоянной скорости) нелинейной системы по медленно меняюш;ейся составляюш,ей, на которую накладывается еш;е установившаяся периодическая ошибка вьшужденных колебаний с амплитудой (Af ). Все эти ошибки определяются, как видим, в зависимости от величины постоянной правой части уравнения (21.37), т. е. от величины внепшего Бездействия (постоянного и равного /° или меняюш,егося с постоянной скоростью gj). Но, кроме того, что очень важно для нелинейных систем, величина статического отклонения ж° (Af ) может существенно зависеть от амплитуды В и частоты ©в внешнего периодического воздействия, так как выражения (21.40) выводились с помощью уравнения (21.33), в которое входят В и cog. В свою очередь амплитуда вьшужденных колебаний зависит через Af° от величины постоянного внешнего воздействия. Это яркий пример неприменимости принципа суперпозиции для нелинейных систем и в то же время иллюстрация достоинства развиваемого здесь метода, который позволяет это уловить, несмотря на приближенность решения задачи.

Далее, исключая из выражений (21,40) величину Af*, находим функцию смещения Р = Ф (ж°) для заданных В и tOj, (рис. 21.8, а).

Итак, наличие в нелинейной системе вынужденных колебаний с частотой внешнего периодического воздействия приводит к эффекту вибрационного сглаживания нелинейности, как и при автоколебаниях. При этом согласно (21.31) для медленно протекающих процессов в условиях вынужденных вибраций исходное дифференциальное уравнение системы (21.24) заменяется уравнением

Q ip) xO + R ip) Ф (ж ) = Р (р) и (t), (21.41)

т. е. заданная нелинейность Р (х, рх) заменяется функцией смещения Ф (х и отбрасывается внешнее периодическое воздействие (t), по сравнению с которым /i (t) является медленно меняющимся.

Функция смещения Ф {х°) обычно на определенном участке изменения величины х° изображается однозначной плавной кривой (рис. 21.8, а), в то время как заданная нелинейность Р {х, рх) или Р (х) может быть скачкообразной (релейной), петлевой, с зоной нечувствительности и т. п. Этот эффект сглаживания характеристики нелинейного звена позволяет, следовательно, ликвидировать влияние вредных гистерезисных петель, зоны нечувствительности, эффекта сухого трения и пр. по отношению к медленно меняющимся сигналам. В некоторых же случаях вибрационное сглаживание может оказаться отрицательным явлением, как было в случае рис. 19.8, где получался эффект снижения коэффициента усиления. Кроме этих явлений, аналогичных вибрационному сглаживанию при автоколебаниях, здесь появляются и принципиально новые явления вследствие зависимости характеристики Ф(ж°).от В и СОв, iTo будет подробнее рассмотрено ниже.

Плавность функции смещения Ф (х) (рис. 21.8, а) позволяет произвести обычную линеаризацию, а именно на некотором участке вблизи начала координат можно принять

F = /с ж , (21.42)

п. п.

Форма нелинейности

Выражение k (о)

2к t .6, Ь

arcsm--arcsin

2к . Ъ

=-arcsm -

п Ов

, 2к . Ъ I

кн = к--arcsm-

kf, = ko - -2-М arcsin п йв

2c 1

2c 1

Ийв -, bf

Таблица 21.1

Нелинейные коэффициенты усиления

Тогда все медленно протекающие процессы в данной нелинейной системе можно будет рассчитывать не по уравнению (21.41), а по линейному уравнению

IQ (Р) + KR (р)] х = S, (р) А (0. (21.44)

При этом очень существенно то, что коэффициент усиления (рис. 21.8, а) будет зависеть не только от структуры и параметров самой системы, как было при автоколебаниях, но также и от амплитуды Б и частоты ©в внепшего периодического воздействия, которые могут меняться в известных пределах независимо от самой системы. Поэтому вибрационное сглаживание нелинейных характеристик при помощи вьшужденных колебаний обладает значительно большими практическими возможностями, чем при автоколебаниях, и довольно часто применяется в технике, особенно в релейных системах автоматического управления. Однако в некоторых случаях вибрационное сглаживание может приводить к вредным последствиям, вплоть до потери устойчивости системы.

С точки зрения упрощения решения задачи важно иметь в виду, что для всех нечетно-симметричных нелинейностей F (х), как однозначных, так и петлевых, вьгаисление коэффициента к при линеаризации функции смещения можно производить, как было показано в § 19.2, не по формуле (21.43), а по более простой формуле:

т. е. непосредственно по первому из выражений (21.29), не определяя вовсе самой функции смещения Ф (ж ). Выражения /сн {ов), найденные по формуле (21.45), для некоторых нелинейностей приведены в табл. 21.1. Геометрически величина к будет крутизной кривой F° (ж ) в начале координат, например кривой F° (ж ) на рис. 21.6, а в начале координат. Чтобы взять при этом определенную кривую из изображенной на рис. 21.6, а серии кривых для различных Ов, нужно предварительно по заданным значениям амплитуды В и частоты ©в внешнего периодического воздействия найти величину амплитуды вынужденных колебаний Ов при ж° = 0. Но эта задача была уже решена в § 21.1, причем результат решения представлен в виде графика рис. 21.4. Следовательно, теперь для-подстановки в формулу (21.45) или для рис. 21.6, а нужно взять просто готовые значения йв из рис. 21.4 для заданных В и ©g.

При этом легко могут быть построены зависимости величины к не только от Б и ©в (рис. 21.8, б), но также и от любого параметра системы к (рис. 21.8, в), влияние которого желательно исследовать и от которого зависит амплитуда вьшужденных колебаний Яв-(рис. 21.2, е), фигурирующая на рис. 21.6, а.

§ 21.3. Зависимость устойчивости и качества нелинейных систем от внешних вибраций

После определени>][ функции смещения F° ~ Ф {х°) открывается возможность исследовать по уравнению (21.41) или по линейному уравнению (21.44) любые медленно меняющиеся процессы в системе.

Устойчивость системы по медленно меняющейся составляющей можно рассматривать тоже путем исследования нелинейного уравнения (21.41) или же Линейного уравнения (21.44).

На устойчивость системы существенно может влиять величина амплитуды В и частоты ©в внешнего периодического всздействия, так как от них зависят вид функции смещения Ф (ж ) и величина коэффициента к. Это