Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 [ 218 ] 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

вынужденных колебаний (М ). Подставляя (Af ) в (21.88) и (21.39), получаем зависимости

Р (х\ М ) и ж {М°). (21.40)

Эти зависимости представляют самостоятельный интерес, так как ими определяется статическая ошибка (а для астатической системы - установившаяся ошибка при постоянной скорости) нелинейной системы по медленно меняюш;ейся составляюш,ей, на которую накладывается еш;е установившаяся периодическая ошибка вьшужденных колебаний с амплитудой (Af ). Все эти ошибки определяются, как видим, в зависимости от величины постоянной правой части уравнения (21.37), т. е. от величины внепшего Бездействия (постоянного и равного /° или меняюш,егося с постоянной скоростью gj). Но, кроме того, что очень важно для нелинейных систем, величина статического отклонения ж° (Af ) может существенно зависеть от амплитуды В и частоты ©в внешнего периодического воздействия, так как выражения (21.40) выводились с помощью уравнения (21.33), в которое входят В и cog. В свою очередь амплитуда вьшужденных колебаний зависит через Af° от величины постоянного внешнего воздействия. Это яркий пример неприменимости принципа суперпозиции для нелинейных систем и в то же время иллюстрация достоинства развиваемого здесь метода, который позволяет это уловить, несмотря на приближенность решения задачи.

Далее, исключая из выражений (21,40) величину Af*, находим функцию смещения Р = Ф (ж°) для заданных В и tOj, (рис. 21.8, а).

Итак, наличие в нелинейной системе вынужденных колебаний с частотой внешнего периодического воздействия приводит к эффекту вибрационного сглаживания нелинейности, как и при автоколебаниях. При этом согласно (21.31) для медленно протекающих процессов в условиях вынужденных вибраций исходное дифференциальное уравнение системы (21.24) заменяется уравнением

Q ip) xO + R ip) Ф (ж ) = Р (р) и (t), (21.41)

т. е. заданная нелинейность Р (х, рх) заменяется функцией смещения Ф (х и отбрасывается внешнее периодическое воздействие (t), по сравнению с которым /i (t) является медленно меняющимся.

Функция смещения Ф {х°) обычно на определенном участке изменения величины х° изображается однозначной плавной кривой (рис. 21.8, а), в то время как заданная нелинейность Р {х, рх) или Р (х) может быть скачкообразной (релейной), петлевой, с зоной нечувствительности и т. п. Этот эффект сглаживания характеристики нелинейного звена позволяет, следовательно, ликвидировать влияние вредных гистерезисных петель, зоны нечувствительности, эффекта сухого трения и пр. по отношению к медленно меняющимся сигналам. В некоторых же случаях вибрационное сглаживание может оказаться отрицательным явлением, как было в случае рис. 19.8, где получался эффект снижения коэффициента усиления. Кроме этих явлений, аналогичных вибрационному сглаживанию при автоколебаниях, здесь появляются и принципиально новые явления вследствие зависимости характеристики Ф(ж°).от В и СОв, iTo будет подробнее рассмотрено ниже.

Плавность функции смещения Ф (х) (рис. 21.8, а) позволяет произвести обычную линеаризацию, а именно на некотором участке вблизи начала координат можно принять

F = /с ж , (21.42)



п. п.

Форма нелинейности

Выражение k (о)

2к t .6, Ь

arcsm--arcsin

2к . Ъ

=-arcsm -

п Ов

, 2к . Ъ I

кн = к--arcsm-

kf, = ko - -2-М arcsin п йв

2c 1

2c 1

Ийв -, bf

Таблица 21.1

Нелинейные коэффициенты усиления



Тогда все медленно протекающие процессы в данной нелинейной системе можно будет рассчитывать не по уравнению (21.41), а по линейному уравнению

IQ (Р) + KR (р)] х = S, (р) А (0. (21.44)

При этом очень существенно то, что коэффициент усиления (рис. 21.8, а) будет зависеть не только от структуры и параметров самой системы, как было при автоколебаниях, но также и от амплитуды Б и частоты ©в внепшего периодического воздействия, которые могут меняться в известных пределах независимо от самой системы. Поэтому вибрационное сглаживание нелинейных характеристик при помощи вьшужденных колебаний обладает значительно большими практическими возможностями, чем при автоколебаниях, и довольно часто применяется в технике, особенно в релейных системах автоматического управления. Однако в некоторых случаях вибрационное сглаживание может приводить к вредным последствиям, вплоть до потери устойчивости системы.

С точки зрения упрощения решения задачи важно иметь в виду, что для всех нечетно-симметричных нелинейностей F (х), как однозначных, так и петлевых, вьгаисление коэффициента к при линеаризации функции смещения можно производить, как было показано в § 19.2, не по формуле (21.43), а по более простой формуле:

т. е. непосредственно по первому из выражений (21.29), не определяя вовсе самой функции смещения Ф (ж ). Выражения /сн {ов), найденные по формуле (21.45), для некоторых нелинейностей приведены в табл. 21.1. Геометрически величина к будет крутизной кривой F° (ж ) в начале координат, например кривой F° (ж ) на рис. 21.6, а в начале координат. Чтобы взять при этом определенную кривую из изображенной на рис. 21.6, а серии кривых для различных Ов, нужно предварительно по заданным значениям амплитуды В и частоты ©в внешнего периодического воздействия найти величину амплитуды вынужденных колебаний Ов при ж° = 0. Но эта задача была уже решена в § 21.1, причем результат решения представлен в виде графика рис. 21.4. Следовательно, теперь для-подстановки в формулу (21.45) или для рис. 21.6, а нужно взять просто готовые значения йв из рис. 21.4 для заданных В и ©g.

При этом легко могут быть построены зависимости величины к не только от Б и ©в (рис. 21.8, б), но также и от любого параметра системы к (рис. 21.8, в), влияние которого желательно исследовать и от которого зависит амплитуда вьшужденных колебаний Яв-(рис. 21.2, е), фигурирующая на рис. 21.6, а.

§ 21.3. Зависимость устойчивости и качества нелинейных систем от внешних вибраций

После определени>][ функции смещения F° ~ Ф {х°) открывается возможность исследовать по уравнению (21.41) или по линейному уравнению (21.44) любые медленно меняющиеся процессы в системе.

Устойчивость системы по медленно меняющейся составляющей можно рассматривать тоже путем исследования нелинейного уравнения (21.41) или же Линейного уравнения (21.44).

На устойчивость системы существенно может влиять величина амплитуды В и частоты ©в внешнего периодического всздействия, так как от них зависят вид функции смещения Ф (ж ) и величина коэффициента к. Это



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 [ 218 ] 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254