Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициевтов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициенты положительными, т. е. в этом случае выполнить указанное выше требование.

Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будем вначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую часть характеристического уравнения (6.9) в виде произведения

(Р - Pi) (р - Pz) . . {р - Рп) = О,

где . . ., р - корни характеристического уравнения. При этом будем считать, что > 0. Это всегда можно выполнить умножением уравнения на минус единицу.

В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, т. е. Pi = -а, Ра = - а2 и т. д. При этом получим

ai(p + (р + а) . . . {р + а ) = 0.

Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (6.9), то все коэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складывая положительные величины > О, > О и т. д., нельзя получить отрицательных величин.

При наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней с отрицательной вещественной частью, например Pi-2 = - а + результат не изменится, так как множители, соответствующие этим корням, будут иметь вид

. (р + а-т{р + а+т ==[р + а) +

Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод о положительности всех коэффициентов характеристического уравнения.

Имея в виду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегда предполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны,

Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем нетрудно убедиться прямым нахождением корней уравнения.

§ 6.2. Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году - полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому

большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем] по npoc]f.6e словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

(6.11)

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от до а . Каждая строка дополняется коэффицентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при йо > О должны быть больше нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Ai = ai>0, . (6.12)

о 2 1 3 5 о 2 4 О 1 3

Аз =

>о.

>о,

(6.13)

(6.14)

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определить Гурвица, выражается через предпоследний следующим образом:

Д = а Д 1 > 0. (6.15)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию а >-0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определить: Д = О, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: = О и A i = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе - границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Оо 2

Третий (последний) определитель Ад дает условие > 0. Условие А2 > О при о > О, 1 > О и 3 > О может выполняться только при > 0.

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

оР* -Ь lP -Ь + зР -Ь 4 = 0.

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения чевертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

3 {а-а - CLod - 41 > 0.

5. Уравнение пятого порядка

оР* + хР* + ар -f ар -h ар -f 5 = 0.

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Раскрывая определители, фдаурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критер1ш УСТ0ЙЧ1Ш0СТИ для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

аор + ai = 0. Для этого уравнения критерий Гурвица дает

о > О, Ai = 1 > О,

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положи-тельньши.

2. Уравнениевторого порядка

аор + ujj} + = 0.

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

ао > О, Ai = 1 > 0.

Последний определить, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента: 2 > О-

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимьш и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

аор + a-j) -Ь гР + з = О-Для этого уравнения получаем условия

ао>0, Ai = ai>0, А2 =