§ 11.4] корреляционная функция 313

По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала т или времени % = т At.

Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента также при помощи специальных приборов - корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние т.

Если найденная корреляционная функция R (т) содержит постоянную составляющую х = YR (оо), то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функции (т) в соответствии с (11.48), т. е. R° (т) = /? (т) - (х).

Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию

Р (т}--О-д(0) л(оо)

которая удобна тем, что всегда р (0) = 1.

Корреляционная функция i? (т) для неслучайных (регулярных) функций времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция jR (т) может вычисляться и для неслучайных функций времени. Рассмотрим несколько примеров.

1. Для постоянной величины х (t) = Ар (например, для постоянного тока) корреляционная функция

R (т) = lim -It ( АрАр dtAl

2. Для гармонической функции х (t) = Ai sin {(Oit -j- i])i)

1 г

Д(т) = Ит-5-г \ isin(©ii--%)isin(©ii--©iT--i])i)df = -cos©iT.

Появление в корреляционной функции члена вида cos ©т указывает на наличие в случайном процессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье:

x{t) = Ao+ Ak sin {(Okt + ijjfe),

ft-1

имеет на основании изложенного выше корреляционную функцию вида

оо 2

fe=i

Типичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при а; = О, а следовательно R (т) = (т), и при отсутствии скрытых периодичностей имеет вид

Д (т) = Д (0) e-tl-ti = De-tl-tl.

Иногда встречается корреляционная функция вида

Д (т) = Д (0) e-N cos рт = De-N cos рт.

Эти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных.

i514 случайные процессы в системах регулирования [гл. 11

Для стационарных случайных процессов используется также понятие взаимной корреляционной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов х (t) ж у (t):

т

Ry {%) = lim f X {t) y{t + %)dt. (И .53)

Для взаимной корреляционной функции существует следующее соотношение:

Ь) = Пух (-т). Кроме того, можно показать, что

Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов между собой в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени т. Значение Rcy (0) характеризует эту связь в один и тот же момент времени. Примером таких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты пространственного положения подвижной цели.

Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех т справедливо равенство Ry (т) = 0.]В связи с этим говорят, что процессы корре-лированы или не коррелированы. Это означает наличие или отсутствие между ними статистической связи.

Аналогично предыдущему можно также ввести понятие нормированной взаимной корреляционной функции.

§ 11.5. Спектральная плотность стационарных процессов

Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье. В главе 5 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображению Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени х (t), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде

FUa)= J X (t) e-<t dt, (UM)

- СЮ

. . +°°

x{t) = - i F(/co)eJ *d©. (11.55)

Возьмем квадрат модуля изображения Фурье F (jco) и проинтегрируем по всем частотам от -оо до +оо с делением результата на 2я;

4-сю -j-сю

\ \F (/со) р = J- j F (/со) F (-/со) d(o. (И .56)

В последнем выражении квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов F (/со) и F (-/со). Изображение Фурье F (/со) заменим выражением (11.54):

4-00 +00 +00

- СЮ

j F(/co)[2d© = - J F( /co)d©[ J x{t)e-di .

- oo

Величина, находящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формула Релея (теорема Парсеваля), которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:

-f-сю -{-оо

j F(yco)pdco= J [x{t)rdt. (11.58)

- сю -сю

Подставляя со 2я/, получим

-\-оо -j-сю

j \FiJ2nf)\f= j [x{t)]4t. (11.59)

- oo -oo

Правая часть (11 58) и (11.39) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому сопротивлению /?, то энергия, выделившаяся в этом сопротивлении за время t, будет

Из (11.58) и (11.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматриваемого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от -оо до -(-оо или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам от -оо до -(-оо. Формулы (11.58) и (11.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье.

Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (11.58) можно представить в виде

+ 00 +г

lim J \F (/со) f d = Ит А J ()]2 (1

- СЮ -Т

Правая часть (11.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины X (t). Вводя обозначение

lim-F(jco)P = 5(co), (11,61)

т-оо

МОЖНО переписать формулу (11.60) в В1ще

+ 00

или в виде

+ 00

J 5(co)tZffl = x2 (11.62)

- ОО

S(2nf)di = \ (11.63)

- оо

В последней формуле изменим порядок интегрирования:

+ 00 + 00 + 00

J F(/©)Pd©= J x{t)dt[- \ F(~/co)e-5 *dco]. (11.57)