щей силы или моп],ности, заданного веса, заданных интервалов возможного изменения параметров регулятора и объекта и т. п. При достижении максимальной точности может быть задано ограничение стоимости, веса, внешних возмуп],ений. При достижении максимальной надежности системы может быть, кроме указанных ограничений, задано ограничение ошибок системы, или пределы допустимого отклонения параметров реальных элементов системы от их номинальных (запроектированных) значений. Для практики учет ограничений при оптимизации системы чрезвычайно важен, так как всякая реальная система характеризуется ограниченной мощностью, инерционностью и всегда целым комплексом качеств (точность, устойчивость, быстродействие, надежность, стоимость, вес, простота эксплуатации и соответствие своему практическому назначению по целому ряду конкретных физико-химических свойств), которые надо соблюсти в определенных пределах при оптимизации одного, наиболее важного из них. Оптимизироваться может также не одно качество, а определенная комбинация качеств. Рассмотрим основные виды ограничений.

1. Ограничения на фазовые координаты и управления

г!<гтах, г=1, и, I (12 124)

Mjj<Mjmax7 7 = 1, к. i

При отсутствии ограничений подобного рода говорят, что задача оптимизации относится к числу вариационных задач в открытой области. Введение подобных ограничений приводит к задаче в закрытой области, что значительно усложняет решение и часто делает невозможным использование классических вариационных методов (см. главу 23).

2. Ограничения типа голономных связей

(х, . . ., х, t)=0 .{к = 1, .. ., I), (12.125)

где Gft - некоторые функции, которые в общем случае могут зависеть от времени.

3. Ограничения типа неголономных связей в виде дифференциальных уравнений

Gnixx,..., х ; хх, . . ., . . .) = О (/с = 1, . . ., I). (12.126)

4. Изопериметрические ограничения в виде функционалов

Ih=JGk {t, Xl, Хп) dtau {k = i, ...,l), (12.127) to

где в правой части находятся некоторые постоянные числа, которые не должны превосходиться. В качестве aj могут фигурировать такие величины, как, например, предельная температура нагревания, количество выделившегося тепла, расход энергии или рабочего тела и т. п.

Отличие синтеза оптимальной системы от синтеза системы по заданным показателям качества, рассмотренного ранее, состоит в том, чтобы добиться не просто требуемых показателей, а наилучших показателей, т. е. выжать из системы все, что она может дать по определенному виду качества, наиболее ваншому для этой системы, при соблюдении заданных требований по всем необходимым другим ее свойствам. Поэтому задача оптимизации систем является в существе своем задачей вариационного типа, когда требуется подобрать программу и закон регулирования, а также и параметры системы управления (регулятора) таким образом, чтобы получить минимум функционала, который в данном случае служит критерием оптимальности системы.

При оптимизации систем управления и регулирования необходимо различать два класса задач, решаемых последовательно: оптимизацию программы регулирования (или управления) и оптимизацию закона регулирования (или управления). Первый из этих классов задач возникает не всегда, а лишь тогда, когда процессы в управляемой системе (например, движение управляемого объекта, ход физического или химического процесса) задаются определенной программой изменения регулируемой величины во времени или же когда выбирается определенная связь между переменными (координатами или другими физическими величинами), которая должна соблюдаться независимо от момента времени, другими словами, когда имеется либо временная, либо параметрическая программа управления.

Примером временной программы управления может служить программа изменения угла тангажа во времени при подъеме или спуске летательного аппарата. Примером параметрической программы управления могут служить методы автоматического наведения или самонаведения, например, по принципу параллельного сближения и др.

В случае оптимизации той или иной программы управления опа не задается, а отыскивается в результате расчета по какому-либо критерию оптимальности, например по минимуму затраты энергии при желаемом маневре летательного аппарата в процессе его движения или при сближении двух аппаратов в процессе наведения.

Вторым самостоятельным классом задач, как указывалось, является оптимизация закона регулирования, т. е. наилучшее построение регулятора (системы управления) для осуществления заданной программы управления. Эта задача может иметь место во всех автоматических системах независимо от того, оптимизировалась ли программа управления или она была иначе задана, в том числе и в случае простого поддержания постоянного значения регулируемой величины и в случае любой обычной следящей системы. При оптимизации закона регулирования, как и обычно, рассматриваются уравнения динамики системы в отклонениях от требуемых величин (от программы).

В настоящее время одной из основных проблем в оптимальном систезе стала проблема весовых коэффициентов в функционалах качества типа (12.121) или (12.123). Это связано с тем, что попытка введения более или менее сложного функционала качества, учитывающего весь комплексе требований к системе регулирования (точность, расход энергии, надежность, вес, технологичность и т. п.), неизбежно приводит к необходимости сопоставить между собой отдельные требования, что и должно делаться посредством весовых коэффициентов. Однако назначение этих коэффициентов пока осуществляется произвольно и, в лучшем случае, по некоторьш экспертным оценкам, что иногда дает им субъективный характер.

В связи с необходимостью удовлетворения в процессе синтеза многим различным требованиям возникла трактовка оптимального синтеза как такого построения системы регулирования или управления, при котором все необходимые требования могут быть выполнены простейшим образом [101. В качестве критерия простоты вводится, например, функционал в частотной области

I = \<o-\W{\a, (12.128)

где г - степень астатизма системы, а W (/со) - частотная передаточная функция разомкнутого капала управления.

В статических системах {г = 0) значение (12.128) совпадает с эквивалентной полосой пропускания разомкнутой системы, что разъясняет физи-

1, гг), -j

> (12.130)

1, ...,fc), J

где F - частные производные от подынтегральной функции (12.129) по соответствующим переменньш. Это решение определяет пучок интегральных кривых (экстремалей)] Xi (t), из которых необходимо выбрать траекторию, проходящую через заданные начальную и конечную точки.

При этом функции Xi и Uj должны принадлежать к так называемому классу функций Cgm? т. е. должны иметь 2т непрерывных производных. В рассматриваемом случае (12.129) наивысшая производная является первой (щ = 1) и функции Xi и Uj должны иметь две непрерывные производные.

Кроме того, для установления факта минимизации функционала (12.129) необходимо удостовериться, что вдоль экстремалей выполняются условия

ческую сущность введенного функционала. Чем меньше требуется полоса пропускания при выполнении всех качественных требований (точность, запас устойчивости, быстродействие и т. п.), тем проще реализация этой системы. В [10] показано, в частности, что приведенный в § 12.6 метод синтеза эвристическим путем приводит к минимизации функционала (12.128). Подобный метод синтеза может быть назван оптимальным синтезом по заданным качественным показателям.

Существуют различные способы оптимизации или, иначе говоря, методы синтеза оптимальных систем, как аналитические, так и машинные. В основе этих способов лежат математические вариационные методы. Каждый из них сопровождается различными вариантами приемов доведения решения задачи до конца в числовом врще. Оказывается, что это последнее представляет во многих случаях особенно трудную задачу даже при наличии решения в принципиальном виде. Поэтому чаще всего (во всяком случае для систем высокого порядка) приходится применять вьгтислительные машины с использованием таких вычислительных методов, как метод градиента, метод наискорейшего спуска, и других специально разрабатываемых приемов. Для некоторых простейших задач имеются аналитические решения, иногда с привлечением изображений на фазовой плоскости. Заметим, что ранее (см. § 11.9) уже был рассмотрен метод синтеза линейной оптимальной системы при случайных воздействиях по минимуму среднеквадратичной ошибки (задача Винера). Поэтому в дальнейшем изложении эта задача уже фигурировать не будет.

Оптимальные законы регулирования при учете реально имеюпщхся ограничений часто получаются нелинейными (см. главу 23).

§ 12.8. Использование классических вариационных методов

Пусть в качестве критерия качестварассматривается функционал вида

/= \ F\Xi, Хп, Xl, .. ., Хп, щ, щ; Щ, ..., Uf,) dt (12.129)

при заданных граничных условиях Xt (to) = х% ш Xi (Ц) = (i = I, . . ., п). В подынтегральное выражение (12.129) здесь не входят производные выше первой от координат Xi и управлений Uj. Если не наложено никаких ограничений, то Xi и Uj принадлежат открытьпм областям.

Решение задачи в этом случае дается уравнениями Эйлера, записанными для всех координат и всех управлений, входящих в (12.129):