466 - - . ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. 1*

где коэффициенты ошибок Со, с, и т. д.представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке (z) в ряд Маклорена по степеням р, т. е.

Величины, обратные множителям при производных выражениях (15.171), по аналогии с непрерывными системами могут называться соответствую-ш;ими добротностями. Например, добротность по скорости

К, = -, . (15.173)

добротность по ускорению

К, = (15.174)

И Т. д.

Вычислшу!, например, два первых коэффициента ошибок для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи

yKT(i-d)z (z-l)(z-d)

где d = е~/1.

Эта функция соответствует импульсному фильтру с передаточной функцией непрерывной части

и с приведенной передаточной функцией (15.136)

Находим передаточную функцию по ошибке:

ф

14-W(z) ~ (z - i)(z-d) + yKT(i - d)z

Подстановка в это выражение р = О или z = 1 дает коэффициент Со = О, Для получения коэффщиента находим первую производную:

dp [{z-l){z-d)+yKT(i-d)z] , е .

Подстановка z = 1 дает коэффициент а также добротность по скорости

К=-уК.

Периодические режимы. Если на входе замкнутой импульсной системы (рис. 15.11) действует синусоидальная последовательность

g [п\ = gmax sin (СОПГ + (f),

то расчет синусоидальных последовательностей у [п] ж х [п] может быть сделан на основе формул (15.152) и (15.154) при использовании передаточных функций замкнутой системы.

Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальной последовательности для ошибки)

, шах = ёшах I (е , е) (15.175)

где N - целая часть у, а коэффщиенты разложения

Для каждой гармоники в установившемся режиме может быть сделан расчет в соответствии с изложенным выше для синусоидальной последовательности. Поэтому в установившемся режиме для ошибки можно записать

h=-N

где Фж ) - значение частотной передаточной функции, полученное

из Фж (z, е) подстановкой z = е .

Аналогичным образом по передаточной функции Ф (z, е) может быть получена для установившегося режима выходная величина у [п, е].

Более простой метод заключается в следующем. Рассмотрим, например, задающее воздействие g [п], представляющее собой периодическую последовательность, изображение которой (15.113)

7=0

где Go (z) - изображение g [п] на интервале О М. Пусть рассматриваемая последовательность действует на входе системы с передаточной функцией Ф (z). Тогда изображение выходной величины

Y{z)=- = O{z)G{z) = Y0{z) + Y*(z)

можно представить в виде суммы изображений переходной составляющей У (z) и установившегося периодического режима Y* (z). Первая составляющая определяется полюсами функции Ф (z) и с течением времени затухает, так как система предполагается устойчивой.

Периодическая составляющая на выходе может быть представлена в виде

где У* (z) - изображение у [п] на интервале О М в установившемся режиме, которое и является искомой величиной, коэффициенты Яд, . . ., а должны быть определены при разложении на сумму дробно-рациональных функций У (z) и У* (z). Для этой цели могут использоваться известные

И сдвиг по фазе

arg о: - arg g- = arg Ф (е , е). (15.176)

В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом Ж (см. § 15.2) она может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник:

1 i-kn

где У (z) - переходная составляющая, определяемая полюсами Ф (z).

Пример. Рассмотрим входную последовательность в виде прямоугольной волны (рис. 15.10, в), но с полупериодом iV = 3 и систему с передаточной функцией

Ф() = -.

Изображение периодической последовательности на входе (15.114)

4 4 -Г Z(l+Z+Z2)

zs+i - z3+l г=0

методы, например теорема разложения. Так, если степень (z) равна степени (z) и Yi (z) = zFg (z), то

где Zq {q = I, . . ., M) - корни уравнения z - 1=0.

Однако пользоваться этой формулой при М > 2 практически неудобно. При Tlif 1 удобнее найти переходную составляющую F (z), а затем периодическую: Y* (z) = У (z) - У (z). Далее можно найти

(2) = () - ()] = =

= Go + iz-i + ... + Gm-iZ-+i . (15.179)

Так как полюсы Ф (z) известны, то отыскание переходной составляющей не представляет труда. Так, например, если степень числителя У (z) меньше степени знаменателя и полюсы Ф (z) не кратные, то

Y4z) = --,

i=l i2(zj)(z -Zi)

где Zi (t = 1, 2, . . ., I) - полюсы Ф (z).

Если степень числителя У (z) одинакова со степенью знаменателя, но числитель имеет общий множитель z, то можно записать

(>- Y{z) - Y{z)

Тогда

Y0(z) = z2 --.

г=1 i - i)Y2i4) -

Другие возможные случаи-см. § 15.2, п. 13.

Если входное воздействие представляет собой симметричную периодическую последовательность с полупериодом N, изображение которой дается формулой (15.114), то аналогичная зависшшсть для изображения периодической последовательности выходной величины на интервале О iV будет

(Z) = Y* (Z) = [У (Z) - У (Z)] =

- +-+----- .о + %г +.. .+ .-1.-4 (15.180)