Однако в том случае, когда имеется ряд последовательно включенных звеньев, каждое из которых имеет на входе свой импульсный элемент (последовательно включенные импульсные фильтры), результирующая передаточная функция может находиться перемножением дискретных передаточных функций каждого импульсного фильтра:

W {Z) = [I Wi (z) = П Z{Wni (Р)}. (15.130)

i=1 г=1

Непрерывная часть дискретного фильтра может содержать временное запаздывание т = 1,Т. Тогда дискретная передаточная функция

W{z)=Z{Wn (р) е-} = Z [t - т)} (15.131)

должна определяться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). Если запаздывание лежит в пределах О % <. Т или О g <; 1, то при т = О и е = О имеем из (15 51)

W (Z) = z-Z,{wn [п, 1 = 21 Wn [п, 1 -Ш (15.132)

При использовании табл. 15.1 необходимо положить е = 1 - .

Рассмотрим нахождение приведенной весовой функции Wn (t) или ее изображения Wn (jp) для различных экстраполяторов. В соответствии с изложенным выше можно записать следующую зависимость:

Wn (р) = ip) Wo ip) = W ip) Wo ip), (15.133)

где F ip) - изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на его вход единственной дискреты [п] в соответствии с (15.115), равное передаточной функции экстраполятора Wg {р) для случая (15.116). В формуле (15.133) передаточная функция Wq ip) относится к непрерьш-ной части.

Амплитудно-импульсная модуляция 1-го рода. В этом случае реальный импульсный злемент генерирует короткие прямоугольные импульсы, высота которых равна значению х[п], а продолжительность составляет = уТ, где 7 < 1 (рис. 15.1, а).

Изображение импульса при поступлении на вход экстраполятора функции бо [п] будет

Fip)=\l.e~4t==--.

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы Wiz) = Z{Fnip)Woip)}==z{l.Woip)}=

= z{J}-z-.Z,{i}, (15.134)

где 8 = 1 - у.

Формулу (15.134) можно также записать в следующем виде. Так как деление передаточной функции Wo ip) на р эквивалентно интегрированию оригинала, т. е. весовой функции Wo (t), то в результате

Wiz) = Z {ho[п]}~Z{ho[n+ 8]} = Но iz, 0)-z-Шо iz, 8), (15.135)

где ho [n] - переходная функция непрерывной части системы, а Нд iz, е) - изображение этой переходной функции.

Пусть, например, непрерывная часть системы имеет передаточную функцию

которой соответствует переходная функция ho (t) = К [l - е~ ), где а = = Г7. Тогда в соответствии с (15.135) и табл. 15.1 получаем

W{z) = K

L (z-l)(z-d)

1 ~ z~c

где d = е- - , 8 = 1 - у.

При Y <С 1 в формуле (15.134) можно приближенно принять e~vp 1 - - урТ. Тогда получим

Wiz) yTZ{Wo{p)). (15.136)

x(t} /

Формула (15.136) будет справедлива, если можно пренебречь влиянием конечной длительности импульса.

Это эквивалентно замене коротких прямоугольных импульсов, которые генерируются реальным импульсным элементом, серией одинаковых с ними по площади импульсных функций (б-функций). В свою очередь это эквивалентно замене (jp) уТ. Такая замена обоснована, если непрерывная

часть реагирует практически одинаково на реальные конечные импу.льсы и на равные по площади импульсы типа б-функций. В большинстве случаев для выполнения этого достаточно, чтобы постоянные времени системы были больше продолжительности импульса, т. е. Тг> tn = уТ (г = 1, 2, . .., к).

К формуле (15.136) сводится и случай амплитудно-импульсной модуляции 2-го рода (рис. 15.1, е), если длительность реального импульса мала.

Экстраполяторы с фиксацией на период. В этом случае на выходе экстраполятора в течение всего такта продолжительностью Т удерживается величина, равная значению х [п]. Подобньш образом работают, например, системы с ЦВМ при использовании в них так называемых экстраполяторов нулевого порядка (рис. 15.13).

Изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на вход X [п] = [п] будет в этом случае (при = 1)

2Г ЗТ 4Т Рис. 15.13.

±

1-в-Р Z-1 Р ~ zp

(15.137)

Передаточная функция разомкнутой системы в общем случае наличия временного запаздывания

W{z)

где 8 = 1 - , т = IjT, причем О < 1. Смещенное z-преобразование должно вычисляться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).

То j Toz

-1 z - i

K[(T-To+dTo)z+(i-d)To-dT] llz+8,5

(z-l)(z -d) (z -1) (z-0,61)

Здесь d = e-o/t==o,61.

Для случая т=0,1 сек (или = 0,2) аналогично будем иметь, положив e=l-L

K{z-l)[- Tz , eTz Toz I zd%-] 7za+13,6z + 0,32

(z -1)2 Г z-1 z -1 Z - l

z(z-1) (z - d)

Заметим, что, положив т==0и8 = 1 - g = l, из последнего выражения (**) нельзя получить передаточную функцию (*), так как для случая 8 = 1 изображение не определяется формулой (15.51).

Передаточные функции замкнутых систем. Пусть для систем с единичной главной обратной связью (рис. 15.11 и 15.12) определена для общего случая е 1 О передаточная функция разомкнутой системы W (z, е). Тогда изображе-1ше выходной величины

Y (z, е) = W (z, 8) X (z, 0). (15.140)

Изображение ошибки принято в виде X (z, 0), так как импульсный элемент реагирует на значения ошибки в дискретные моменты времени t = пТ (е = 0). При 8 = 0 имеем X (z, 0) = G (z, 0) - F (z, 0). Подставляя это выражение в (15.140), получаем

0) = iTw) = (-

Формула (15.138) может быть также записана в другом виде:

W{z) = Z{ha(t - x)}, (15.139)

где ho (t) - переходная функция непрерывной части без учета временного запаздывания.

Пример. Определим передаточную функцию разомкнутой системы с зкстраполятором нулевого порядка для случая, когда непрерывная часть имеет передаточную функцию

Общий коэффициент усиления К = 100 сек~, постоянная времени объекта Гц = 1 сек, период дискретности Т = 0,5 сек, постоянное временное запаздывание т = О и т = 0,1 сек.

Рассмотрим случай т = 0. Разложим выражение, находящееся в скобках (15.138) , на простые дроби:

0 (Р) К у1 Уо I П \

Р P4i+ToP) \Р Р i+ToP I

Тогда имеем из (15.138) и табл. 15.1

Щ-Л) ( \ То П Л K{z-i) г Tz