(17.78)

W - - (xi ~Ь сх -\- Сзж -f- схх -f- 2cisXiXg -f- 2с2зЖ2Жз)5 что дает значения:

С1 = Сз = 1, C2 = fci2A +l, 2ci2 =-fciAa, 2ci3 = 0, 2с2з = Ь1зАй.

Функция IF будет знакоопределенной отрицательной, как требуется по условию, если

Cg > О, С2С3-- Cgg > О, ссСд -\- 2С12СХ3С23 - CjCgg - C2Cjg - C3CJ2 > 0.

Эти неравенства с учетом (17.78) приводятся к следуюп],ему:

Подставив сюда (17.76), увидим, что это условие выполняется, если Аа лежит в ивтервале Аа < Ай < Айг? где

сч.2--щ{ПтУОЧЩТЩ), (П.79)

откуда видно, что A% < О и Ай2 > 0. При этом требуется егце Z) > 0. Нетрудно проверить, что последнее требование совпадает с критерием устойчивости (см. § 6.2) для данной системы в линеаризованном виде при замене F (ijj) = йоФ (рис. 17.14, б), так как характеристическое уравнение согласно (17.55) и (17.72) в этом случае будет

TiP + (ioc + 1) + (коо + крк р + 01 = 0. (17.80)

Итак, для устойчивости рассматриваемой нелинейной системы автоматического регулирования достаточно, во-первых, чтобы цьшолнялся критерий устойчивости Гурвица Z) > О для линеаризованной системы при F (ijj) = agip и, во-вторых, чтобы нелхшейная характеристика F (ij;), измерителя регулируемой величины лежала, как указано на рис. 17.14, б, между прямыми F = а{1р ж F = ар, причем = uq -\- Acj, 2 = о + Аа, где значения A i, 2 определяются формулой (17.79), в которой величины D, D,

согласно (17.77) выражаются через параметры данной системы и через первоначально принятое значение йр при линеаризации F (ij;) = йря]?.

Как II в предыдуп],ем примере, здесь получаются условия абсолютной устойчивости, т. е. условия, не зависяп],ие от формы нелинейности, но в более узких, чем (17.54), пределах, показанных на рис. 17.14, б.

§ 17.3. Определение автоколебаний релейных систем методом припасовывания

В § 17.1 с помощью фазовой плоскости были найдены автоколебания некоторых нелинейных систем второго порядка. Еще ранее, в § 16.1, были исследованы автоколебания в релейной системе второго порядка методом припасовывания. Однако и для релейных систем любого порядка также суще-

D = {TJccc +1) (Аос + кК) - aohTu Л

А = aki (T,kj + h) + {Tkoo +1) (йо + h), \ {П.11)

Аз = [Go {Tiao + Aocfci - А;рф) + oc {TJcoc +1)] J

Затем потребуем, чтобы выражение (17.74) при замене в уравнениях (17.73) F (жа) = ах, где й = + Аа, имело вид

ствует точное аналитическое решение, потому что релейные характеристики прош;е других нелинейных тем, что выходная величина принимает только определенные постоянные значения +с (а при наличии зоны нечувствительности - еш,е и нулевое значение). Имеются методы аналитического решения Г. С. Поспелова [95, 121], Я. 3. Цыпкина [135] и др.

Изложим здесь решение А. И. Лурье для релейной системы любого порядка по методу припасовывания, полагая, что уравнения системы автоматического регулирования имеют вид

= auXi + 122 -f ... + й1, n-iXn-i + bil.

= 211 -f 222 + + 2, n-iXn-i + b.

dt

= F{o), a = CiXi + C2X2 -b ... 4- Cn-iXn-i - rl

(17.81)

(переменная § играет роль переменной ). Это имеет место, например, для системы с нелинейной характеристикой двигателя в приводе регулируюш;его органа, причем ddt обозначает скорость двигателя, о - управляющее воздействие на двигатель, г - передаточное число обратной связи. Выражения (17.81) представляют собой общую форму записи уравнений. В конкретных же задачах многие из коэффициентов а, bi, Ct могут быть нулями, что упростит выкладки.

Преобразуем эти уравнения к специальной канонической форме.

Записав первые п - 1 из уравнений (17.81) в виде

(оц-р) Xi + ai2X2-Ь -. + Й1,n-i.Xn-i = -bil,

aziXi + ( 22 - /?) 2 + + Й2, n-lXn-l = - 62? 7

an-iXi + й -1, 2X2+ + (an-i,n-i - p) Xn-i = -bn-il

и преобразовав их к одной (любой) из переменных х {к - 1, 2, . . ., - 1), получим

Xk =

D(P)

где определитель

D {р) =

ац - р ... 1, п-1

21 0.22-p---0.2,n-i

(17.82)

(17.83)

n-l, 1 йп-1, 2---й 1, п-1 - Р

а выражение Nj (р) получается из D (р) заменой А;-го столбца на столбец

П-1-

Многочлены D {р) и {р) характеризуют собой свойства линейной части системы. Обозначим через Х, .gi ? n-i корни многочлена D {р}

pyj = hyj + l (7 = 1,2, 1),

=1> Ы~г1, pl = F{o),

(17.86)

Pi =--ргщ-. (1 / .87)

Введем, наконец, еще новые переменные

zj = pyj = %jyj + 1 (7 = 1, 2, . . ., и - 1). (17.88)

Продифференцировав по времени все уравнения (17.86), кроме последнего, и исключив затем из них ру и pg, получаем канонические уравнения для заданной системы (17.81) в виде

pZikiZi + Fio), pz=%2Z2 + F{G), pZn-i = K-lZn-i + f {),

pa = piZi + + . . + Pn-iZn-i-rF (o) (z = 0), )

(17.89)

причем Zj.Zj, . . ., z-i л a Еазываются каноническими переменными (o штраегг роль переменной z ). Эти уравнения имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнения (17.81), что и позволяет провести дальнейшие исследования в более простом и обп],ем виде.

Следует заметить, что вегцественным корням % соответствуют вегцествен-ные канонические переменные z, а комплексным корням - комплексные канонические переменные.

Теперь требуется написать только выражения для исходных переменных (i, 2, . . ., Xn-i, I) через канонические (z, Z2, . . ., z i, а). Получим их.

Если все корни %j отличны от нуля, то из (17.88) имеем

и будем считать; чтовсе они различны. Тогда уравнение (17.82) после разложения частного двух многочленов Ни {р) и D {р) на простейшие дроби можно будет записать в виде

где D (kj) обозначает производную от многочлена D (р) по р, в которую подставлено значение р = Kj. Введем новые переменные

У} = -\- лжи {p-%j)yj = l (7 = 1,2, п-1). (17.85)

Выписывая эти соотношения и добавляя к ним последние два из уравнений (17.81), в которых переменные % заменяются по формулам (17.84) и (17.85) через yj, приходим к следуюгцей системе уравнений: