Отсюда

sin = sin (ojji - P) cos p + cos (ipi - p) sin p, cos ipi = cos (ipi - P) cos p - sin - P) sin p (аналогично ojjg выражается через у). Учитывая, что согласно (18.149)

cos Р = - , sm Р = -.

(аналогично -у выражается через Та), находим

sint)?!

\kia )

COS фа =

\ 20(0 /

ГС02--1 V 2003

(18.151)

(18.152)

Теперь no правилам § 18.1 легко записать результат гармонической линеаризации нелинейной логической функции:

ф2

\ sin4ljd4lJ = -(cos% -cosifa),!

Ф1

ф2

= 1 h ( 2-sin ipi).

(18.153)

(18.154)

Найденные значения д и q согласно (18.151) и (18.152) являются вполне определенньши фунгщиями искомых величин а и (о (амплитуды и частоты автоколебаний переменной х).

Характеристическое уравнение рассматриваемой системы в целом после указанной гармонической линеаризации нелинейности, согласно (16.66) - (16.69) и (18.153), принимает вид

ТоТзТр + (ТоТз + ТоП + ТзП) Рз + {То + + Т) р +

+р+hhh 2% р-+ hhhg ( , ) = о. (18.155)

Для отыскания синусоидального периодического решения подставляем р = уш. Получаем вещественную и мнимую части соответственно

X = kokjcq (а, ш) - (Го + Тд+ Та+ ToTTw = О, Y = kokgkq (а, со) + ш - (г0г3 + ТоТ + ТТ q.

Отсюда

kokshi кокзк

vCO.

(18.156) (18.157)

Эти два уравнения с двумя неизвестными а и со решаются графически. Для этого по формулам (18.154) с учетом (18.151) и (18.152) строятся графшж q (со) и q (ш) при разных значениях а = а, а, а, . . . (рис. 18.31, а). Затем на первом из них наносится кривая 1, определяемая правой частью уравнения (18.156), а на втором - кривая (18.157). Решение определится точками пересечения, для которых значения а - и а = са одинаковы на обоих графиках. Найденные значения и Шц будут искомыми амплитудой и частотой автоколебаний, определяемых приближенно в виде х = sin Юд. Полученные конкретные числовые значения а = и ш = Шд соответствуют всем заданным параметрам объекта и системы управления. Если изменить

Рис. 18.31,

параметры системы, изменятся также и Юд. На том же графике можно проследить влияние изменения параметров системы, для чего нужно менять коэффициенты правых частей (18.156) и (18.157) при построении пунктирньш кривых 2, 1 на рис. 18.31, а.

Изложенное выше решение удобно, если все параметры системы заданы. Для изучения же зависимости а и ю от параметров системы (т. е. для выбора параметров) целесообразнее применить другой путь решения задачи. Допустим, необходимо выбрать обш;ий коэффициент усиления ккф, с учетом влияния различных возможных значений постоянной Т. Тогда, исключая kjiji из уравнений (18.156) и (18.157), находим

1 (1 - ГрУзИ) g (А, ы) -КГр -f Гз) т (а, to) (В (Го -Ь Гз) cog (а, (В) - (1 - ГоГзшг) q (а, со)

а затем

Задаваясь теперь различными значениями а и ю и вычисляя каждый раз по этим формулам Т и кдкдк, получим сетку линий равных значений со (coj, fOg, . . .) ий (oi, а, . . .), показанных на рис. 18.31, б. По этой диаграмме удобно выбирать значения параметров ккк, и для получения желаемых а и ш.

Кроме того, важными параметрами являются к, к и особенно щ ж v- (см. рис. 18.29). Но они входят в выражения q и q. Поэтому для определения их влияния нужно построить графики g и д для разных значений указанных параметров, а затем, задаваясь значениями а и со и используя соотношения (18.156) и (18.157), по потребным значениям g и д определять эти параметры (Mi, Vi, ki или fcg). При этом нужно учитывать, что из требования веществен-

ности выражений (18.151) и (18.152) следует выбирать

Пример 4. Рассмотрим систему автоматического регулирования с двумя нелинейностями в случае, когда их гармоническая линеаризация

Рис. 18.32.

по отдельности невозможна вследствие отсутствия свойства фильтра у звена, стоящего между ними (рис. 18.32).

Представим весь блок, включающий обе нелинейности, изображенный отдельно на рис. 18.33, как одно нелинейное звено.,По отношению к нему система обладает свойством фильтра. Следовательно, автоколебания в системе можно искать приближенно в виде у

Xi == а sin сд

Система уравнений, описывающих работу всей системы, имеет вид

xi=- {kzp + kl) X,

с при a;i>0, Х2<.Ъ,

О > О, 2 = Ъ,

№=i a:i<0, 2>-fc,

i<;0, 2=-ъ.

(18.158)

Чтобы найти передаточную функцию нового нелинейного блока (рисунок 18.33), определим его выходной сигнал х (f) при входном сигнале х = = а sin (i)t. Это представлено на рис. 18.34. Отсюда видно, что выходной сигнал 2 представляет собой ограниченные на уровне Ъ треугольные колебания, отстающие по фазе от входного сигнала на угол ф п/2. Если время перехода выходного сигнала из одного крайнего положения в другое составляет jj, угол ф определяется соотношением . .

2 7/2 ~ Г

С учетом того, что = 2fc/c, Т = 2п/ш, получаем

(18.159)