-fgp A> , + Aft-f-M, + ip,). (14.41)

На основании уравнений (14.32), (14.33), а также формул главы 3 малое отклонение Ды;, величины скорости в начале трубопровода от ее установившегося значения будет

, =д ,.(*1) Ае.+ () Ар..Лрде Ар,=

(установившиеся значения vf, С , р пишутся без индекса 1, так как они

одинаковы вдоль всего трубопровода). Величина сть тангенс угла

наклона касательной в точке С (рис. 14.8), соответствующей установившемуся процессу в трубопроводе. На основании (14.23) и (14.25)

/ gpi \о 1 \ dpi I 2

Введем безразмерную величину относительного отклонения регулирующего клапана:

где - условное номинальное значение, равное

-н = -Д. . (14.36)

Кроме того, заметим, что согласно (14.32)

- = igp-- (1-37)

Подставляя все зто в (14.34), с учетом (14.28) и (14.27) получаем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в начале трубопровода:

Ф1 + = (14.38)

которое является первым граничным условием для уравнений объекта (14.29).

Расход газа в конце трубопровода у потребителей можно записать согласно (14.32) в виде

Gz = FgpzWz- (14.39)

С другой стороны, известно, что при выходе газа из трубопровода (в случае критического истечения, которым мы для простоты и ограничимся) будет

2 = /2, (14.40)

где Q - площадь некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода у потребителей (это величина, которая может меняться как угодно по произволу потребителя; она выражает собой, следовательно, внешнее возмущающее воздействие на данную систему регулирования), Pz - давление в конце трубопровода перед выходом к потребителям, 2 - удельный объем газа там же.

Уравнение для отклонения величины расхода в процессе регулирования от его установившегося значения в линеаризованном виде на основании (14.39), (14.23), (14.37) и (14.27) будет

AG2 = G<(/-bi-<P2). (14.44)

Сравнение выражений (14.41) и (14.44) дает искомое уравнение потребления газа в конце трубопровода:

Ф2 = Л/(*)-(1--)ф2, (14.45)

которое является вторым граничным условием для уравнения объекта (14.29). Уравнение потребления (14.45) записано для общего случая процесса регулирования с переменным внешним возмущающим воздействием, выраженным через относительную величину выходного сечения / у потребителей. При исследовании же переходного процесса в системе, когда после некоторого возмущения потребление установилось {Q = const = (У, / = 0), уравнение (14.45) будет иметь вид

Ф2=-(1--)ф2- (14.46)

Уравнения регулятора. Уравнение чувствительного элемента

+ Т2г\+ц = -htpi, . (14.47)

здесь Ti, Т2 VI ki - постоянные времени и коэффициент передачи, а

г] = 4, (14.48)

где Уи - некоторое номинальное перемещение. Индекс 1 при переменной ф в уравнении (14.47) означает, что чувствительный элемент измеряет давление газа в начале трубопровода.

Уравнение управляющего элемента со струйной трубкой

а = = г]-£. (14.49)

Уравнение пневматического двигателя на основании (5.137) будет

Ts- = Ti = o, (14.50)

где Ts - время двигателя.

Уравнение жесткой обратной связи согласно рис. {4.7 будет

X = I. (14.51)

Уравнение всей системы регулирования. Итак, для данной системы автоматического регулирования имеем уравнения объекта (14.29) с граничными условиями (14.38) и (14.45) или (14.46) и уравнения регулятора (14.47), (14.49), (14.50) и (14.51).

Выразим ДСг также из (14.40), т. е. через изменение выходного сечения у потребителей, считая для простоты v, = const = v:

Учитывая, что из (14.40)

G = Qoj/2g, (14.42)

и вводя безразмерную величину изменения выходного сечения, т. е. внешнего возмуп];ающего воздействия

/()=- (14.43)

получим

Решение уравнений в частных производных (14.29), как известно, можно записать в виде следующей суммы некоторых двух функций от аргументов (t - уТоЦ и ( + уТоЦ:

Ф = ф (f - уГоЛ) 4- ф + у + ТоЦ,

= ~Wit~ уТоЦ - Ф {t + уТ

Л), I

(14.52)

(легко проверить, что при подстановке этих выражений уравнения (14.29) удовлетворяются тождественно).

Для определения функций Ф и Ф используются граничные условия. При исследовании переходного процесса уравнение потребления газа в конце трубопровода (т. е. второе граничное условие) возьмем в виде (14.46). Это соответствует значению I = L, т. е. % = i. Поэтому из условия (14.46) с подстановкой (14.52) получаем

Ф (t + уТо) =-7-ТУо),

откуда

где обозначено

o {t)=m> (f-т).

т=2у7о.

(14.53)

(14.54)

Для начала трубопровода, где X, = О, из (14.52) с учетом (14.53) получаем:

Ф1 = Ф (О + Ф (О = Ф (t) + ЬФ (t-T),

1 = { [Ф (f) -Ф m = j [Ф it) - ЬФ (*- т)]

(14.55)

К этим уравнениям надо присоединить первое граничное условие (14.38) н уравнения регулятора.

Запишем теперь все уравнения системы регулирования в символической операторной форме, заметив предварительно, что согласно § 14.1 равенство (14.53) в операторной форме имеет вид

Ф ==6е-Ф. (14.56)

В результате все указанные уравнения системы регулирования будут:

ф1 = (1+6е-Р)Ф,

или, после объединения некоторых уравнений.

(1 + Ье-тр) -Ь -i- (1 - бе-Р) J Ф = I,

(14.57)

(Тр + TzP 4-1) 1] - - h (1 + be-r>) Ф, (Г.р-Ь 1)1 = 1].