Для расчета установившегося стационарного процесса на выходе системы (рис. 11.25) более удобно исходить из известной спектральной плотности на входе (to). Тогда можно легко найти спектральную плотность (со) выходного сигнала. Действительно, по определению спектральная плотность на входе связана с изображением Фурье (/со) случайной величины (t) соотношением (11.61):

5i(co)=lim4rPi(/co)2.

Это же соотношение имеет место и для выходного сигнала:

52(co)=lim4ri2(/ )r

В линейной системе изображения Фурье F (/со) и jFg (/f) связаны между собой посредством частотной передаточной функции:

F,(7co) = PF(/co)Fi(7co).

Отсюда можно найти

(со) = lim I Fi (/со) р I W (/со) р,

Sz {(o) = \W (/со) р Si {(О). (11.109)

Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотной передаточной функции линейной системы. Отметим, что приведенное выше доказательство, вообще говоря, не является строгим, так как существование стационарного случайного процесса на выходе не доказано.

При известной спектральной плотности s2 (со) выходной величины может быть найдена корреляционная функция R, (т) по преобразованию Фурье (11.66) или (11.68).

Получим выражение (11.109) более строго. Для этого используем формулу (11.107). Так как в реальных системах весовая функция тождественно равна нулю при f О, то нижние пределы интегрирования можно положить равными -оо. Полагая, что на входе действует центрированный процесс (xi = 0) ni?i (т) = R\ (т), имеем

оо оо

i?2(T)= J w(Ti)dTi J w{k)Ri{x-\-k-()dk. (11.110)

-00 -00

Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана с корреляционной функцией соотношением (11,65):

оо - СЮ

Подставляя в последнюю формулу значение корреляционной функции из (11.110), получаем

оо оо оо

52(сй)= j J йЯ, e-w{ri)w{k) R{x + k~ц)df\ =

- СЮ -оо -оо

оо оо оо

= J с?т j e-J-+-4>eJ< e-J ii?i(T--X-г])ы;(Я)и(г])йт) =

§ 11.7] ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ СИСТЕМУ 329

оо оо оо

= j w {щ) e-i d-i] j w {Ц eP<> dX j Riix-l.-) e-<-+- dx =

- CO -CO -CO

= ж (/CO) ж (-;©) J Ri{x)e-i<dx = \W {i(i>)\Si{(i>). (11.111)

- oo

Последнее выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать.

Для нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины, необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотность:

+ О0 +00

= А=4 J 52(co)d(o= J Sz{2nf)df. (11.112)

Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении ее через линейную систему. Однако в случае, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины (t), то на выходе для случайной величины Х2 {t) также будет иметь место нормальное распределение.

При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выражением вида

Л(/ш)Р

где А (/со) и В (/со) представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной /со.

Наивысшую степень знаменателя обозначим 2п. Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть на выше 2п - 2. Для удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде

IВ (/(0)12 G(/ctt)

Л(/(о)Р - Л(/ш)Л(-/(о)

А (/со) = о 0 Г + й1 (; ) ~ + . . . + а, G (/со) = Ьо (/ ) - + W (У ) -* + . . . +

Полином G (/со) содержит только четные степени /со. Полином А (/со) для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка р = /со, а множитель / означает поворот

комплексного числа на угол у.

Таким образом, вычисление дисперсии (11.112) можно свести к нахождению интеграла

-Ьоо оо >

J J f Gmd& 1 с G (/со) d(0 ov

-231 J А(тА{-]ы) - 2n J И(/со)2* ii.iio>

- OO -oo

в общем случае при любом п для устойчивой системы интеграл / может быть представлен в виде [38]J

А = -

1 Щ 5 . О а 4 . О 1 3 .

ООО.

,. О ,. О ,. О

. . 71

(11.115)

совпадает с точностью до знака со старшим определителем Гурвица, а числитель определяется выражением

Ьо 1 2 о 2 а

О aj 3 ООО

Ъп-i.

(11.116)

Интегралы такого вида вычислены до и = 7 и сведены в таблицы (см. приложение 2).

Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 2 формул представляет собой A i - определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этот определитель обрап],ается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности.

В заключение рассмотрим два важных случая прохождения случайного игнала через линейную систему.

Статистическое дифференцирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференцирующее устройство с передаточной функцией И (j?) = р спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на со:

Sz (со)8= toi (со).

(11.117)

при двойном дифференцировании - на со* и т. д.

Статистическое интегрирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией I W {р) = спектральная плотность выходной величины (интеграла от входной величины) может быть получена делением интегральной плот-

ности входной величины на со

52( ) =

нри двойном интегрировании - на со* и т. д.

1(11.118)

§ 11.8. Расчет установившихся ошибок в автоматических системах

Замкнутая система автоматического регулирования может находиться под воздействием случайного задающего сигнала g (t) и случайной помехи ,/ (i), приложенной в произвольной точке системы (рис. 11.26).

Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия и помехи будем считать известными. Конечной целью расчета является нахождение корреляционных функций и спектральных плотностей выходной величины у (t) и ошибки х (t). Обычно ограничиваются более узкой задачей и определяют только среднеквадратичную ошибку системы регулирования. Это может быть сделано посредством интегрирования по всем