V = 4-tg-. (24.106)

Следует заметить, что в системе обычно могут сугцествовать симметричные периодические режимы с различными значениями полупериода N. При этом для каждого конкретного значения N периодический режим в случае управляемого объекта без самовыравнивания (астатического) оказывается нейтрально-устойчивым относительно среднего значения регулируемой величины. В результате этого ни один из симметричных периодических режимов с фиксированным значением N не может существовать длительное время. Медленные движения объекта, вызванные наличием возмущений, приводят к непрерывным переходам периодических режимов от одного значения N = = к другому N = N2 ф Ny.

Из всех возможных периодических режимов обычно наиболее тяжелым для системы с точки зрения влияния ограниченной линейности канала является режим при А = Amin- Это связано с тем, что при использовании дискретных] корректирующих программ ЦВМ, т. е. при D (z) более

вероятно применение алгоритмов, эквивалентных дифференцирующим контурам, которые вызывают подъем высоких частот.

Выходная величина ЦВМ в режиме симметричных периодических колебаний может быть получена, если входную решетчатую функцию (рис. 24.22) пропустить через фильтр с передаточной функцией D (z). Это делается на основании формул (15.175), (15.178) и (15.180), которые позволяют вычислить параметры периодического режима на выходе дискретного фильтра при известных параметрах периодического режима на входе.

Покажем, как это делается для случая = 1, когда число гармоник Оказывается равным единице. В соответствии с (15.175) амплитуда сигнала на выходе ЦВМ (рис. 21.14)

Ч шах = ах I (е ) I =ах I ( - 1) I, (24.107)

где X и Ху - цифровые представления входного и выходного сигналов ЦВМ. Пусть, например, в ЦВМ используется алгоритм (табл. 24.2)

£> (z) = . = 10 - 9z-i.

, Тогда для режима, изображенного на рис. 24.22, при жах = 0,5 имеем для = 1

тах = 0,5 I D (-1) I = 0,5 (10 + 9) = 9,5,

объекта (рис. 24.14)

G, =4- \WieS-)\=.\W{-i)\=\W* (/оо) . (24.103)

Под знаком модуля в (24.103) находится значение частотной передаточной функции при а = п/Т или при к- оо.

При колебаниях с относительным полупериодом N = 2, если имеется точка пересечения двух годографов, как, например, показано на рис. 24.24, б,

1 = -:1(Д)=:*(7--). (24.104)

Аналогичным образом для колебаний при A = Ail (рис. 24.24, е)

a,\W{J)\=-\W-{jX)\, (24.105)

откуда

~--т

i<4- (24-112)

Так как > О, то при М < 2 из последнего равенства следует, что иг = О, а дробная часть относительной амплитуды колебаний

A<2WTT)<4- (24-113)

Квазипериодические режимы. Если установившееся значение сигнала на выходе входного преобразователя должно соответствовать точке 3 на рис. 24.21, а, то в системе будет существовать несимметричный периодический режим.

Установившееся значение на выходе преобразователя можно представить в виде

о = о4 = т + (Л-Д), (24.114)

где т - целое число, а ж* - дробная часть, причем 1 и Д у. Так как на самом деле на выходе может существовать сигнал т -\- i или т, то требуемое значение Xq получается как среднее значение в периодЕгаеском режиме. Как среднее в колебательном режиме получается и значение дробной части

Т. е. амплитуда колебаний на выходе ЦВМ превышает амплитуду колебаний на входе в 19 раз.

При 7V > 1 расчет должен быть произведен для каждой гармоники и найдена их сумма, либо использованы формулы (15.178) или (15.180).

Покажем теперь, что в системах с типовыми л. а. х. (рис. 24.10 и табл. 24.2) для симметричных периодических режимов амплитуда ошибки при iV = 1 не превосходит половины цены младшего разряда входного преобразователя. Пусть на входе нелинейного элемента (рис. 24.21, б) действует сигнал X* [п] = 1 cos (пп 4- фх)- Запишем амплитуду входного сигнала в виде = = (т + Aj) 6i, где т - целое, а Дх > О - дробное число. Начальная фаза пусть находится в пределах

- arccos-L <;m<; arccos-(24.108)

Если начальная фаза удовлетворяет последнему неравенству, то на выходе нелинейного элемента будет последовательность (24.85):

ж* [п] = feiCos лп= cosnn. (24.109)

Нормированный коэффициент гармонической линеаризации

g* = j6*e-. = .!!l e-wi (24.110)

В точке пересечения двух годографов (рис. 24.24, а) имеем - Z* =

~W{e) = W*{joo). Так как [ W* (/оо) [. м+1 получаем

<lj, (24.111)

где Nl - число тактов, когда на выходе сугцествует величина те + 1, TVg - число тактов, когда на выходе существует величина т, а 2N - число тактов полного периода колебаний.

Из (24.115), учитывая, что Ni + N = 27V, можно найти следующую зависимость:

Лср--1 2д

(24.116)

m-f-i т I-0- о-

пТ

iItIiiItIti

Знак модуля введен в (24.116) для обобщения на случай произвольного знака Д. Вместо N в формуле (24.116) записан средний полупериод iVcp по следующим сообранениям. Числа Ny, Nvi. N могут быть в канедом реальном цикле колебаний только целыми, а Д - произвольное число. Поэтому зависимость (24.115) может, как правило, кроме специально подобранных значений Д, вьшолняться только в среднем. Так, например, для случая, когда Ny - 1, некоторые подобные режимы изображены на рис. 24.25.

В формулах (24.115) и (24.116) числа Nl, N2 я N могут быть целыми, вообще говоря, для любых значений А если под Nl и N понимать число тактов не в одном цикле колебаний, а в течение многих циклов. Однако при этом все эти числа могут стремиться к бесконечности или во всяком случае быть очень больцшми. Период колебаний Tq = 2NT в этом случае не соответствует реально наблюдаемым колебаниям в системе, у которых будет существовать некоторая преобладающая гармоника. Целью введения усредненного периода и является выявление частоты преобладающей гармоники.

Средний полупериод Np может быть как целым, так и дробным числом. Средние значения чисел Ni и N могут быть также целыми и дробными. Такой режим движения будем называть квазиперцодическим. .

Проблема расчета квазипериодических режимов является весьма сложной. Поэтому ограничимся распространенным случаем, когда iV = 1 не в среднем, а в течение всего режима. Тогда формулы (24.115) и (24.116) приобретают вид

1-Щ 1

Рис. 24.25.

- 2 ~ 2

iVc.p =

1-2Л

(24.117) (24.118)

Рассмотрим вначале случай, когда = N - целое число. Для дробных частей ж* и ж* по-прежнему имеют место зависимости вида (24.81) и (24.82), а также рис. 24.21, б. Однако комплексное значение амплитуды

первой гармоники fe на выходе входного преобразователя определяется при N > \ более обпщм выражением:

2IV-1 . я

Ъ,=Ъуе~ 2 /, (ж* Ы) е~ (24.119)