из (12.3) можно получить

В, = В1=КВ1. (12.4)

Множитель fen, онределяюпщй соотношение между коэффициентами основного множителя характеристического уравнения, является критерием переходного режима, зависящим от выбранной стенени затухания. Формула (12.4) показывает желаемое соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, к которому надо стремиться нри проектировании системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующих средств.

Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение между мнимой и вещественной частями корня (колебательность):

В ряде случаев для описания основного переходного процесса оказывается более целесообразным воспользоваться уравнением третьей степени

-f В,р + Вр + = О, (12.6)

Это уравнение можно представить в виде

(Р + Си) (р + В + ВгО = О- (12.7)

Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имеют место соотношения:

В = + Дц, = CiiBji -\- Bxt Вд = СВх. Положим, что во втором множителе (12.7) по-прежнему

В = В\, - (12.8)

Поэтому корни характеристического уравнения (12.6) и (12.7) равны:

Рх = -Си, (12.9)

p..,= -±i. (12.10)

Так как вещественная часть корней должна быть возможно большей, то целесообразно задать

Си = (12.11)

Оптимальное соотношение между коэффициентами и В определяется из условия получения затухания за один период £ = 98 %, которому соответствует выражение (см. § 8.6)

гд-е аир - вещественная и мнимая части комплексного корня, характеризующего основной процесс. Учитывая соотношения:

AzQt = [1 - G (1 - к)] aAlQl Ql = а; (1 - а) м?:

И, следовательно,

Bn = Bi, (12.12)

CuYi, . (12.13)

BziBl (12.14)

Подставив полученные значения в формулы разложения, находим зависимость между коэффициентами основного уравнения. ЕслиБ! задано, то

= т (12.15)

3-?. (12.16)

Эти соотношения должны реализоваться при проектировании системы регулирования.

Корни основного уравнения

a=-y5i, (12.17)

P2.3=-4-5i±/-5i. (12.18)

Выбор уравнения для описания основной составляющей переходного процесса зависит от структурной схемы проектируемой системы.

Рассмотрим теперь связь между основной и дополнительной составляющими переходного процесса для заданного затухания t, (8.40). Для этой цели полезно представить характеристическое уравнение (12.1) в таком виде:

р + ifioP - + AzQIp - + . . . + Ь2 = о, (12.19)

где Qq -произвольно выбранный среднегеометрический корень, . . Ап-1 - безразмерные коэффициенты.

Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает вид

+ AiQoP + AzQIp + = 0. (12.20) Разлагая его на множители, находим

{Р + Сх) {р + Bip + В,) = 0. Соотношения для коэффициентов:

AjQp = Ci+ Bi, (12.21)

AzQl = Bz + CiBi, (12.22)

fi3 Q (12.23)

Введем коэффициент a и положим

Вг = aAQp. (12.24)

Тогда

= (1 - а) AQp, (12.25)

.Bz = КВ\ = knalQl . (12.26)

Подставив полученные значения коэффициентов в формулы (12.22) и (12.23), можем записать:

откуда

Л2 = [1-й(1-Cп)]GЛ (12.28)

Таким образом, безразмерные коэффициенты ш А, являются функциями критерия переходного процесса Лц, зависящего от желаемой степени затухания и коэффициента разложения а, определяющего соотпощение постоянных времени затухания отдельных составляющих.

При й = -а имеем =- = -тг, т. е. = -тг, ш отпощепие по-

стоянных времени Гс = и Та = будет = -1 = 1.

Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаковой скоростью.

Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициентов характеристического уравнения четвертой, пятой и более высоких степеней [117].

Синтез системы регулирования начинается с того, что для выбранной структурной схемы и введенных корректирующих средств находится характеристическое уравнение. Затем варьируются параметры основного капала регулирования и корректирующих средств таким образом, чтобы получить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения (12.1) или (12.20).

Этот метод оказывается достаточно эффективным в случае сравнительно невысокой степени характеристического уравнения {п = 2 -f- 4).. В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколько коэффщиептов характеристического уравнения.

Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректирующих средств. Поэтому получаемое рещепие будет во многом зависеть от опытности проектанта.

§ 12.3. Метод корневых годографов

Качество системы регулирования с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т. е. расположением нулей и полюсов передаточной функции (§ 8.6).

Зная эти корпи, можно изобразить их расположение па комплексной плоскости корней. При расчете регулируемой системы целесообразно проследить, как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров, например общего коэффициента усиления, постоянных времени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корпи будут перемещаться па плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневым годографом или траекторией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней.

Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой системы, записанное