F{z) = Z{f{t)}, t=nT, F{z,e)Z{f{t)}, t = {n + e)T,

(15.31)

где n = 0; 1, 2, . . .

Ряды (15.29) сходятся, и изображение решетчатой функции существует, если выполняется условие, сформулированное выше для дискретного преобразования Лапласа: с < оо, где с - абсцисса абсолютной сходимости.

В табл. 15.1 приведены изобрансения некоторых решетчатых функций, а также производящих функции времени и их изображений Лапласа.

В таблице введена единичная импульсная решетчатая функция [68].

f 1 при t= О, of-l = {onpH.=0. (-З)

Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выражение:

F* {р, е) = S / [п, е] е- Т. (15.26)

Формулы (15.25) и (15.26) можно представить в символической записи аналогично (7.20):

(р) =D{f [п]}, (15.27)

F* (р, 8) = Z>e {/ [п, г]}. (15.28)

В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина р = с + /со, где с - абсцисса абсолютной сходимости. Если с < оо, то ряд, определяемый формулами (15.25) и (15.26), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение.

Как следует из (15.25) и (15.26), изображение решетчатой функции является функцией величины е*. Для смещенных решетчатых функций в изображение будет входить, кроме того, параметр s.

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него. Применительно к z-преобразованию ниже будут рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа.

Под z-преобразованием понимается изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами

, . со оо

(Z) = S / in] F{z, s) = 2 / {п, е] z . (15.29)

В этих формулах введено новое обозначение z = е*. Из них следует, что z-преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения.

Таким образом, решетчатая функция времени (оригинал) заменяется ее изобранением (z-преобразованием). Формулы преобразования (15.29) могут быть записаны в символической форме:

F (z) =Z{t Ы}, F (z, s) = Ze{/ [n, &]}. (15.30)

Формулы преобразования (15.30) могут быть записаны и для непрерывно производящей функции в виде

Таблица 15.1

Изображения решетчатых функций

Производящая непрерывная функция

оригинал

преобразование Яанласа

Несмещенная решетчатая функция

z-преобразование

простое

смещенное

\ О при t : О

l{t)

jl 2!

3! kl

1-е-

1 - e

j . p 1

p2 1

p3 J

p-l-a a

PiP + a)

(p--a)2

6o[?i] -Д1 [n]=VI [n-1] I [n] пТ

-кпГ

1 -е

2-1 Г2

(2-1)2

Г2г(г4,1) 2!(г-1)3

r3z(z2+4z4-l)

3! (2-1)4

ГгДь (2) fe!(2 l)b+i

(l-ti)2

(z -1) (z-с 2d

(z-d)2

r2 Г e2

-1 (2-1)2. 28

2-hl

2! L2-I (2-1)2 (Z-1)3 J

3s2 . 36(2+1) Z24-424-I

+ /- + (2-1)4 J

3! Lz-1 (Z-1)2 (2-1)

fe (z-l)V+

v=0 2dg

2-1 2-d

zde . 2d+ 2-d+ (z-d)2

Прояоязкеййб табл. 15.1