Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 [ 182 ] 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

Зададимся различными числовыми значениями амплитуды аш получим для каждого из них по уравнениям (18.38) зависимости

к = к{ап) шТ = Т {а>.

После этого, меняя соц, можно построить по точкам соответствующие кривые и = const в координатах {к, Т), как показано сплошными линиями на

рис. 18.5, е. На этих кривых получаются отметки частот © , которые также можно соединить (пунктирные кривые).

График рис. 18.5, е позволяет выбирать значения двух параметров {к ж Т) нелинейной системы. Если такие графики построить для различных возможных структурных схем системы, то можно будет выбирать также и наивыгоднейшую структурную схему проектируемой замкнутой автоматической системы с учетом нелинейностей.

Использование графиков коэффициентов гармонической линеаризации. Во многих задачах коэффициенты д ж д, входящие в уравнение (18.34), сложно зависят от амплитуды а, а Б ряде случаев и от частоты ю. В таких случаях удобнее указанное уравнение записывать в виде


Рис. 18.5.

Q (у ) + R (/со) ig + jq) =-- О, (18.39)

не подставляя зависимости д ж д от: а ж а. Тогда вместо уравнений (18.36) получим для определения периодического решения уравнения:

X (со, д, д) = О, У (со, д, д) = 0. (18.40)

Для общего случая задач, в которых каждый из коэс)фициентов гармонической линеаризации q ж д зависит сложным образом от обеих неизвестных а и со, т. е.

д = gia, со), q = д (й, со), (18.41)

можно применить следующий прием решения.

Задаваясь различными значениями а и со, построим по формулам (18.41) две серии кривых: q (со) и д (со) при разных а = const (рис. 18.6). Затем из уравнений (18.40) выразим

д = Zi (со), д = (со)

(18.42)


н эти две кривые нанесем на тех же графиках. Теперь остается на этих двух кривых найти такие точки С ж В, в которых кривые Z (со) ы Z (со) пересекают линии с одинаковыми зиа-чениями а при одном и том же значении со. Получепные величшш й и со будут решением задачи, т. е. амплитудой ж частотой сОт, искомого шения.

Во многих встречающихся на практике задачах вместо (18.41) будет

Рис. 18.G.

периодического ре-



Тогда кривые q и q на рис. 18.6 для разных амплитуд будут шиеть вид горизонтальных прямых линий.

В простейшем случае, когда в системе имеется однозначная нечетно-симметричная нелинейность F (ж), для которой q - q{a) ш q = О, из уравнений (18.40) можно найти

q{a)=Z (to). (18.44)

Тогда, исключив q из уравнений (18.40), найдем частоту со = соц как функцию параметров системы. Затем, изобразив график зависимости q (я) (рис. 18.7), проведем на нем согласно (18.44) горизонтальные линии q - Z (со) для разных постоянных значений со=сОп, т. е. для разных соотношений параметров системы. Точки пересечения этих прямых (со = СОп) с кривой q {а) (например, на рис. 18.7 точки п! и йпг) определяют в каждом случае амплитуды периодических решений. Если пересечений нет, то и периодических решений в системе не будет. В простейших случаях уравнение (18.44) решается аналитически.

Графический способ. Для гармонически лшеаризованного характеристического уравнения (18.33) можно написать выражение кривой Михайлова


Рис. 18.7.

Dm=Q(0) + E{j) q{a, со)

g (Д, со) со

(18.45)

где знак ~ введен, чтобы отличать текущий параметр со, изменяющийся вдоль кривой Михайлова, от частоты со, входящей в выражение гармонической линеаризации нелинейности.

Тогда при любых заданных постоянных а и со кривая Михайлова будет иметь такой же вид, как для обыкновенных линейных систем. Искомое периодическое решение = sin сОп*, т. е. неизвестные и со, определятся прохождением кривой Михайлова через начало координат (рис. 18.8, а).



Рис. 18.8.

Поскольку в точке прохождения кривой Михайлова через начало координат текущее значение со должно совпадать со значением со = сОд, входящим в коэффициенты гармонической линеаризации, то для удобства решения можно заранее отождествить в выражении (18.45) значения со и со. Тогда искомые частоту со - соп и амплитуду й = автоколебаний можно будет определить путем построения кривых

/ (со) = (? (/со) -\- R (/со) [q {а, со) -\- jq {а, со)], (18.46)

которые в общем случае не будут совпадать с кривыми Михайлова. При этом надо выбрать такое значение а, при котором кривая пройдет через начало координат.



Если например, для каких-нибудь трех различных значений а кривые / (со) проходят указанным на рис. 18.8, б образом, то искомые значения a = jjH со = сОд можно найти путем следующей интерполяции:

ап = Й2 + (аз -Яг). п = 1( 2 - i)-

Этот способ целесообразен лишь в самых сложных случаях, когда изложенные выше способы не удается применить.

Использование коэффициентных соотношений для определения периодического решения. Для обнаружения факта наличия пары чисто мнтых корней в характеристическом уравнении (18.33) можно также применить известные алгебраические критерии устойчивости лшаейных систем. Так, если гармонически линеаризованное уравнение (18.33) нелинейной системы имеет третью степень относительно р, то его можно записать в виде

аоР + (hP + аР + йз = О, (18.47)

причем коэффициенты его будут содержать в себе искомые значения частоты со и и амплитуды автоколебаний.

Условие наличия пары чисто мнимых корней по критерию Гурвица (см. § 6.2) будет

= о з> (18.48)

оно дает только одно уравнение с двумя неизвестными и сОп- Чтобы найти второе, представим уравнение (18.47) при наличии мнимых корней р = = + /СОп в виде

{р + coS) (йоР + Ь) = 0.

Раскрьш здесь скобки и приравняв коэффициенты этого уравнения соответствующим коэффициентам (18.47), найдем

йоСо = а. (18.49)

Из двух уравнений (18.48) и (18.49) определяются неизвестные амплитуда йп и частота сОп автоколебаний, входящие в состав коэффициентов (18.47). При этом точно так же, как в основном способе, здесь на основании уравнений (18.48) и (18.49) можно строить графики завис1шостей йд и сОд от одного параметра системы или на плоскости двух параметров с целью их выбора.

Если гармонически линеаризованное уравнение (18.33) нелинейной системы имеет четвертую степень относительно р:

ар -г -\- Й2Р + ар + Й4 = О, (18.50)

то условие нал1гчия пары чисто мнимых корней согласно § 6.2 будет

йз ( % 2 - Оз) - 41 = О- (18.51)

Кроме TorOi записывая уравнение (18.50) в виде

(р + К) {аоР + hp + 62) = О,

раскрывая здесь скобки и приравнивая полученные коэффициенты соответствующим коэффициентам (18.50), находим

йсо = ад. (18.52)

С помощью двух уравнений (18.51) и (18.52) решаются все вьшгеуказан-ные задачи для нелинейной системы четвертого порядка.

Заметим, что для систем с нелинейностью вида = F (ж) без гистерезисной петли частота со не входит в коэффициенты характеристического урав-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 [ 182 ] 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254