В виде

ж = ж + ж*, где ж* = а sin at. (19.27)

Гармоническая линеаризация нелинейности (19.23) при этом согласно (19.6) дает

В данной задаче согласно (19.24) уравнение (19.9) для периодических составляюп1;их получит вид

{Tip + 1) (ГаР + 1) рж* + (fcocTiP + К + Ко) Kqx* = о, (19.29)

а уравнение (19.8) для постоянных составляющих будет

(h + Ко) = М\ . . (19.30)

где согласно (19.24) - (19.26)

Ж = hifl + {kl + fcoo) / . (19.31)

Выше были указаны два метода решения задачи. Для иллюстрации обоих методов решим данную задачу каждым из них.

Согласно первому методу сначала решается уравнение (19.29) длр определения зависимостей а {аР) и и (ж ).

Характеристическое уравнение здесь будет

ТгТ + {Ti + Т) P + {i + TikKS Р + {кг + Кс) kq = 0, (19.32)

и уравнения (19.11) поэтому примут вид

Z = (fci-I-fcoe) й;? - (Г-Ь 2) = О, Л

У = (1 + ТкфооЧ) - ТхГйЗ = 0. 1 (9-33)

Исключая отсюда q, находим частоту автоколебаний

Частота со в данной задаче оказалась не зависящей от смещения ж , а следовательно, и от величины внешнего воздействия. Затем, подставляя в первое из уравнений (19.33) выражение q из (19.28) и Шп из (19.34), получаем биквадратное уравнение для отыскания зависимости амплитуды автоколебаний от смещения ж :

где величина

представляет собой амплитуду автоколебаний в данной системе при отсутствии смещения (при ж° = 0). Отсюда

Полученное выражение можно записать также ввиде

!fln = cos-J, .1(19.38)

если обозначить

Результат (19.37) или (19.38) и представляет собой искомую зависимость Яп (ж ).

Далее, согласно первому методу решения задачи подставим полученное значение амплитуды Яц из (19.38) в выражение (19.28) для откуда с использованием (19.39) найдем функцию смещения

(19.40)

где А определяется через параметры системы формулой (19.36).

Подставив величину (19.40) в уравнение (19.30) для постоянных составляющих, с учетом (19.31) и (19.36) получим

А . г я / kjfl

А . Г п /

(19.41)

а

Сравнивая это с формулой (19.39), видим, что для искусственно введенной ранее величины а можно записать следующее выражение:

Эта величина характеризует совокупность приложенных к системе внешних воздействий. Учитывая это, из формулы (19.38) находим амплитуду автоколебаний

Ск2 \

n-COs[(-f/o)].

V h+ko7 ЧГ (-

Существенно то, что амплитуда автоколебаний зависит не только от параметров системы (см. (19.36)), но еще и от величины внешних воздействий. Эта зависимость нелинейная. В данном случае при увеличении внешних воздействий амплитуда уменьшается по закону косинуса, в то время как частота не зависит от внешних воздействий.

Из формулы (19.43) видно, что автоколебания существуют до тех пор, пока величины внешних воздействий удовлетворяют условию

0<

ki + koc

(19.44)

При этом амплитуда автоколебаний изменяется в пределах А п > О-Таков первый метод определения установившихся величин смещения аР,

амплитуды Яд и частоты автоколебаний при наличии внешних воздействий. Проиллюстрируем также и второй метод. Согласно второму методу

сначала решается уравнение (19.30). По (19.30) и первой из формул (19.28)

находим

- = sin -S- = sin

2с (h+koc)h

или, с учетом (19.31),

(19.45)

Для отыскания входящей сюда амплитуды а воспользуемся уравнением (19.29). Характеристическое уравнение для него будет (19.32), и уравнения (19.11) поэтому примут вид:

X = (Al + fcoc) кд - (Ti + Т) = О,

У = (1 -Ь Ткфод) ю - ТТа = О,

где согласно (19.28) и (19.45)

(19.46)

а =-cos

йц = COS

L 2сй2 \ ki + ko

/ )], (19.49)

где величина

--{Ti+T) >

является амплитудой автоколебаний при отсутствии внешних воздействий (при П = О, / = 0).

Подставив найденное выражение амплитуды (19.49) в формулу (19.45), получим окончательно величину смещения

= -тг- Sin

ск2

+ (19.51)

Как видно, второй метод в данной задаче приводит к тем же самым результатам значительно более коротким путем, чем первый, что очень важно для практических расчетов (принципиально же оба метода эквивалентны друг другу). По-видимому, большая простота второго метода будет иметь место и в большинстве других задач.

В этом втором методе, в отличие от первого, функция смещения Ф (ж**) не определяется. Однако последняя может понадобиться в дальнейшем для других целей. Но ее тоже легко можно определить при использованиц второго метода. Здесь величины ж**, и их отношение выражены через величины внешних воздействий. Функция же смещения Ф (ж**) не должна содержать ни величин внешних воздействий, ни амплитуды а, зависящей от них. Подставив значение квадратной скобки из (19.51) в (19.45), получим

. sm (arcsin -j , (19.52)

а подставив это в первую из формул (19.28), сразу получим искомую функцию смещения

f о = Ф (ж ) = arcsin , (19.53)

где А выражается только через параметры системы согласно (19.50).

Важно отметить, что функция смещения Ф (ж**) не зависит ни от числа внешних воздействий, ни от характера их изменения (если они постоянные или медленно меняющиеся), что наиболее наглядно было видно из первого метода решения задачи.

Итак, двумя разными методами определена величина смещения ж** автоколебаний на входе реле. Найдем теперь установившуюся ошибку на выходе системы Ж4. Поскольку на выходе должно воспроизводиться внешнее воздействие fi (t), то согласно рис. 19.5 и второму уравнению (19.20) ошибка данной системы выражается величиной ж, установившееся решение для которой, следовательно, и надо искать. Выразив переменную ж через ж, которая уже известна, из заданных уравнений системы (19.20) и (19.21) получаем

(fcocTiP + fci -Ь fcoc) ж, = (Г1Р + 1) Ж + /Ьоо {TiP + 1) /1 it).

Исключая из уравнений (19.46) величину q, находим частоту автоколебаний

Подставив найденные выражения g и Шп в первое из уравнений (19.46), найдем амплитуду автоколебаний . ,