Обновления
Хрущовки
Архитектура Румынии
Венецианское Биеннале
Столица Грац
Дом над водопадом
Защита зданий от атмосферных осадков
Краковские тенденции
Легендарный город Севастополь
Новый Париж Миттерана
Парадоксы Советской архитектуры
Реконструкция города Фрунзе
Реконструкция столицы Узбекистана
Софиевка - природа и искусство
Строительство по американски
Строительтво в Чикаго
Тектоника здания
Австрийская архитектура
Постмодернизм в Польше
Промышленное строительство
Строительство в Японии
Далее
|
Главная -> Логарифмическое определение устойчивости В- -fl--Y i?n-i-*o Д-ь----} -Ц-ь-){-ъГ /J R гГ / Ьп-2 ап-2 \ о / t>n-t an-i \ I п-з ге-з Ъп-i Ъп-1 = Ьо (8.66) При поступлении на вход системы единичного импульса 6 () = 1 {t), изображение которого по Лапласу равно 1, изображение регулируемой величины можно также представить в виде дробно-рациональной функции (8.60). Разница будет заключаться только в том, что степень числителя т возрастает на единицу, а последний коэффициент числителя = 0. Это обусловлено тем, что получение реакции системы на единичный импульс (весовой функции) эквивалентно дифференцированию переходной функции, получающейся при действии единичного скачка. В области изображений это эквивалентно умножению на комплексную величину р. В связи с этим квадратичную интегральную оценку при действии единичного импульса можно рассматривать в виде выражения оо оо (8.67) где w (t) - весовая функция системы по задающему или возмущающему воздействию, х (t) - отклонение регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе при действии единичной ступеньки задающего или возмущающего воздействия. Таким образом, техника вычисления оценки / полностью совпадает с вьгаислением оценки / по формуле (8.61) или (8.65). Совпадает при этом и значение определителя А (8.62). Отличаться в вычислениях будут определители Ар, . . А и коэффициенты Вд, . - ., В или В, . . ., Вп, что обусловлено повышением степени т в выражении (8.60) на единицу при вычислении / по сравнению со случаем вычисления /. Интегральная оценка / также может использоваться в безразмерном виде аналогично формуле (8.57): Г 0 (8.68) i Интегральные оценки I ш I (или выражения квадратичных динамических ошибок) применяются для выбора структуры и параметров систем автоматического регулирования. При этом наилучшими параметрами считаются такие, при которых величина / или / имеет минимальное значение. Вычисление квадратичных интегральных оценок I ж Г можно также производить на основании так называемой формулы Релея, которая будет доказана ниже, в главе 11. Здесь она будет приведена без доказательства. Если X (/to) есть изображение Фурье функции времени х {t), то существует зависимость, определяемая теоремой Парсеваля (см. ниже стр. 317), оо +00 оо xHt)dt = - J Z(/to)pdco=4-JX(7co)pdco, т. е. интегрирование квадрата функции по времени в пределах от нуля до бесконечности можно заменить интегрированием квадрата модуля изображения Фурье этой функции по всем частотам. При нахождении интегральной оценки /, соответствующей реакции системы на входное задающее воздействие типа 1 (t), изображение Фурье исследуемого отклонения x{t) = у (оо) - - у (t) будет Х(;со)=Вг. где /со) - частотная передаточная функция замкнутой системы. Тогда 1 = ± Ф(0)-Ф(/.о)Р (8.69) В астатических системах и статических системах с неединичной обратной связью или с масштабированием (см. § 9.3) установившееся значение у (оо) = = 1 и Ф (0) = 1. Тогда формула (8.69) будет иметь вид (/со)2 dco. Г8.70) где Фж (/со) = 1 - Ф (/со) - частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке. Аналогичным образом для входного задающего воздействия типа единичного импульса б (t), изображение которого равно 1, изображение Фурье исследуемого отклонения х (t) = -у (t) равно частотной передаточной функции замкнутой системы: X (/со) = Ф (/ю)-1. В результате получаем Рис. 8.21. (8.71) Подобные выражения могут быть получены и для входного возмущающего воздействия, если вместо частотной передаточной функции Ф (/со) использовать передаточную функцию по возмущающему воздействию Ф- (/со). Недостатком интегральных оценок является то, что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса, изображенных на рис. 8.21, имеют одно и то же значение квадратичной интегральной оценки (8.56) Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют слишком сильно колебательному процессу, ибо отмечавшееся уже при этом стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большую скорость процесса при подходе к установившемуся значению ж = 0. Это получается вследствие того, что оценка (8.56) учитывает только величину отклонения и быстроту затухания и ншсак не учитывает близость системы к колебательной границе устойчивости. Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходном процессе определится заштрихованной частью на рис. 8.22, а. Очевидно, что величина интегральной оценки (8.56) будет тем меньше, чем ближе будет кривая переходного процесса к ломаной линии АОБС. Но нри-ближение процесса к этой линии требует увеличения угла наклона кривой в начальной стадии процесса (приближение части кривой 0D к отрезку ОБ). Рис. 8.22. Увеличение же начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малый запас устойчивости. Поэтому применяется еще другой вид интегральной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения ж, но также и на скорость отклонения х. Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид К=\ {x + Tx)dt, (8.72) где Т - некоторая постоянная времени. Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров системы регулирования но минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72). Для этого проделаем следующие преобразования: оо оо оо / = J (ж + Тху - J 2Тхх = J (ж + Тху dt - Тх = J (а: + Tx)dt + Га, где Хд - начальное значение отклонения в переходном процессе. Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия тх + X = {Тр + i) X 0. Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид (8.73) х = Х(,е V = yo{i - e ), где Уо = Хо - установившееся отклонение регулируемой величины. Этот процесс изображен на рис. 8.22, б пунктиром. Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте (8.73) с постоянной времени Т, которая носит в этом случае название экстремали. Из этих соображений можно заранее задаться определенной величиной Т. Выбор параметров системы по улучшенной квадратичной интегральной оценке приводит к менее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (8.56).
|