но бесконечности (рис. 5.9). Определяем ток и напряжение в электрической цепи с ЭДС и Для первой гармоники

=lmSin ((Of + (ft,).

1 +(c L- I/шС)

В общем случае <pk = - t,-, тогда = tt ~ a для первой гармоники Фи = ijii - (pi-

Для второй гармоники J2=i2 sin (2оК--ф2) где

2tttL - 1/2о>С

/2 =

2 j/r+(2o)L- 1/2тС)

; (р2 = arctg-

При этом ток цепи i = -- г, -- и так как 1 = О, то i = = i + (з, т. е. i(f) = li sin(mt + + sin(2ю1 + i)-Действующее значение тока цепи

Напряжение резистивиого элемента совпадает но фазе с током цепи и в общем случае

Ur=lJor + 1, + Н2г, а так как Lor /о = О, то и, = 1, + цз,.

,(()- l/i sin(ci>t + vfi) + L2 sin(2rat + vfj).

где C,-Jj r; l/2 = i2 r.

Аналогично могут быть определены значения н. и и:

М0= ir.-4sin(o>(-f-vfi +л/2)-(-2 ,2ь5>п(2о)/--уг2 + я/2); ciOimcSin + -я/2) + ;2 -sin (2оК + фз - я/2).

Пример 5.3. Несинусоилальная ЭДС e{i) линейной электрической цепи рис. 5.7, а изменяется по закону e(/f = 200 н-180 sin (ш/-

- 30°) -ь 120 sin Зю1. Параметры цепи: т = Ь Ом, л: = a>L = 2 Ом, Хс -

- 1/(оС = 18 Ом. Определить мгновеииое, действующее значение тока 3 цепи и действующее значение напряжения на участке цепи аЬ.

Решение. По отношению к носюянной cociявляющей ЭДС Ео = 200 В сопротивление конденсатора равно бесконечности, т е. =

- 1/ С = 1/0-С = со. Следовательно, постоянная составляющая тока о-О

Расчет первой гармоники: полное сопротивление цепн

= [/г + (toL - X/iaCf = l/V + (2 - 18) = 170м;

yioji слвн1а фаз между ЭДС е, и юком

f Ф1 i.-ii. го ♦ i,-=*.,-4>i

- 30 - ( - 69 20) = 39-20;

амплитуда и действующее зна*1енне первой гармоники тока

10.5 .

V2 Уг

мгновенное значение тока

i, - 10,5 sin (101 + 39°20); действующее значение напряжения на участке аЬ

(л, - ,=.11 -i,/r +(0)L) - 7,5/б + 2 47,2 В.

Расчет для третьей гармоники полное сопротивление цепи

Zj = /г + (3mL- l/3mC) = /б + (6 - 6)= = 6 Ом,

т. е. для данной гармоники наблюдается резонанс напряжений, а следовательно, угол сдвига фаз между ЭДС и током

3o)L - 1/3<оС Ф, = iag--= 0;

Определение гармонических составляющих токов i, и i;, а также напряжений w, и % можно также осуществить с использованием комплексных чисел.

амплитуда и действующее значение тока £i. 120

i. 20 20 А; /,= = - =14,3 А 1/2 р

мгновенное значение тога

i3 = 2(Jsin Зш;

- действующее значение напряжения на участке аЬ

.63 = ээ 31/ 1 0<Ц - 14,31/6 + 6 = 121,3 В.

. Расчет оацего тока: мгновенное значение тока в цепи

= 10,5 sin(o( + ЗЭгО ) + 20sin 3ojf; действующие значения тока в цепи и напряжения на участке ф

I = Vii+ll = F V + 14,3 = 16,1 А; .6 = Vlloi \ = \Ul,2 + \2\X- = 130.1 В.

В ряде случаев при проведении практических расчетов периодические несннусоидальныс ЭДС и напряжения можнон представить эквивалентными синусоидами; так, при и4учении нелинейной электрической цвяи, т. е. цепн, содержащей Karymigfi с ферромагнитным магинтопроводом (см. гл. 6), песш1усои-, дальный ток заменяется эквивалентной синусоидой. Подобна замена осуществляется так, чтобы действующее значение экви валентной синусоиды ЭДС или напряжения равнялось деЙ-? ствующему значению несинусоидальной величины.

При определении, например, действующего значения эквн- валентной синусоиды напряжения U- путем обычного интегри рования по формуле, аналогичной (5.1), ее амплитудное значение

Мгновенное значение эквивалентной синусоиды напряжения = 1э sin Q>r,

где ш = 2%1Т.

Расчет цепн ведется так же, как и цепей синусоидальногч тока, т. е. ток в цепи

L. = ]LJZ-Активная мощность цепи.

Р= 1/-,Л.С08ф,,

где cos фэ,: = г/г. 186

5.6. ВЛИЯНИЕ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ НА ФОРМУ КРИВОЙ ТОКА. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Предположим, что в электрических цепях рис. 5.10,д-в ие-синусоидальное напряжение u(t) содержит основную и высшие гармонические составляющие. При резистнвной нагрузке (рнс. 5 Ш,д) токи всех гармоник совпадают по фазе с соответствующими гармониками напряжений и форма кривой несииусои-дадьного тока аналогична форме кривой напряжения н(г).

В цепи рис. 5.10,6 амплитуда тока основной гармоники определяется как UimL, а амплитуды токов всех посте-дующих гармонических составляющих = UfJkmL.

Так как сопротивление индуктивного элемента увеличивается с переходом к высшим га1 10никам, то амплитуда каждой гармоншат тока будет уменьшаться оатно пропорционально порядку гармоники и высшие 1армоники тока будут проявляться в меньшей степеии в общей кривой тока. Таким образом, кривая тока меньше отличается от синусоиды, чем кривая напряжения. Аналогично в цепи рнс. 5.10,в амплитуды токов основной и высших гармоник определяются как

1/шС 1/feMC

Так как сопротивление емкостного элемента уменьшается с переходом к высшим гармоникам, то амплитуды гармоник юка буду! увеличиваться пропорционально порядку гармоники, форма кривой тока будет искажаться еше больше в сравнении с кривой напряжения.

Поскольку с ростом частоты сопротивление индуктивного элемента увеличивается, а емкостного уменьшается, в электрической цепи рнс. 5.7, и может возникнуть резонанс напряжений либо для первой, либо для одной из высших гармоник. Условие возникиовеиия резонанса напряжений для некоторой A-iap-моники

kdiL = 1/к<аС.

Рис. 5.10 Схема электрических пеней к рассмотрению влияния их элементов на форму кривой

При этом амплитуда тока резонансной гармоники может значительно превысить амплитуды тока всех остальных гармоник (см. пример 5.3), а на участках электрической цепи как с индуктивным, так и с емкостным э-тементом могут возникнуть перенапряжения. В электрических цепях несинусоидального тока нри параллельном соединении катушки и конденсатора возможно возникновение резонанса тока либо для первой, либо для одной из высших гармоник с присущими данному резонансу явлениями.

5.7. ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРАХ

Как следует из временных диаграмм, приведенных на рис. 5-2, а -е. вып05гмлениые напряжения имеют пульсации. Данные напряжения содержат как постоянную, так и гармонические составляющие. Однако амплитуды гармонических составляющих достаточно быстро уменьшаются с увеличением номера гармоники. Поэтому при анализе выпрямительных устройств часто можно ограничиться pacCMoi рением лишь одной основной гармоники. В связи с этим пульсации выпрямленного напряжения оценивают коэффициентом пульсаций к , который представляет собой отношение амплитуды основной гармоники к постоянной составляющей т. е.

Коэффициент пульсапий зависит от качества выпрямительной схемы. Чем меньше к, тем форма кривой выпрямленного напряжения ближе к горизонтальной линии. Для однополvne-риодной схемы выпрямителя = 1,57, для двухполупернодной схемы к = 0,67, для трехфазной схемы к 0,057. Наличие пульсаций выпрямленного напряжения ухудшает работу потребителей. С целью их снижения применяются сглаживающие фильтры. Которые включаются между выпрямительной схемой и потребителем Сглаживающим фильтром называется устройство, предназначенное для уменьшения переменной составляющей выпрямленного напряжения. Эффективность действия, сгдажнвагощего фильтра характеризуется коэффициентом сглаживания /С(., т. е. отношением коэффициента пульсаций на входе фильтра к коэффнциен1у цульсаций на его выходе к -

Рис. 5.и. Схемы электрических сглаживающих фильтров: а - емкостный; 6 - индуктивный; в - Г-образный

Рассмотрим некоторые виды сглаживающих фильтров (рис. 5.11, а-в).

Емкостный фильтр (конденсатор) по рнс. 5.11,й включается параллельно нагрузке. Он шунтирует нагрузку по переменной составляющей тока.

Необходимо, чтобы емкостное сопротивление фильтра для основной гармоники пульсаций было много меньше сопротивления нагрузки, т. е.

* Иногда к рассчитывают как отношение удвоенной амплитуды (размаха пульсаций) к постоянной составляющей.

Тогда параллельное подключение конденсатора к нагрузке снижает переменные составляющие напряжения на ней, тем самым снижается коэффициент пульсаций выпрямленного напряжения.

Индуктивный фильтр (рнс. 5.11,6) включается последовательно с нагрузкой и представляет собой большое сопротивление для переменной составляющей тока. Для удовлетворительного сглаживания необходимо выполнить условие

(n.L г.

При таком условии значительно уменьшаются гармонические составляющие тока i{t) и коэффициент пульсаций напряжения на нагрузке существенно снижается. Прн малом значении Гф постоянная составляющая тока Iq на нагрузке изменяется незначительно.

Для лучшего сглаживания иа практике используются более сложные фильтры, например Г-о5разный LC-фильтр (рис. 5.11, в). При создании такого фильтра необходимо, чтобы

СВгф г и I /Ыо Сф г .

Влияние элементов этого фильтра аналогично двум выше- рассмотренным. При многозвенных Г-образных LC-фильтрах,