Л p(i+T,p)[(i+Typ)i\+Tp)+kjp]

l + Typl + Tp

Положим теперь, что выполняется условие Г= Г,. Это всегда легко сделать выбором параметров RnC. Тогда

W{p) =-~--, (10.64)

p[i + (ry+r,+kJJp + TyTy]

характеристическое уравнение

ТуТУ + (Ту + Г Hjjp + р + К-0, (10.65)

условие устойчивости

i<f + f + . (10.66)

. у м . у

Из этого неравенства видно, что введение обратной связи позволяет повысить добротность системы К по сравнению к = 0.

Вместо включения гибкой отрицательной обратной связи аналогичный эффект может быть достигнут введением в прямую цепь эквивалентного пассивного интег-ро-дифференцирующего звена (рис. 10,22, б).

Глава 11

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§11.1. Вводные замечания

До сих пор поведение систем автоматического управления исследовалось при определенных, заданных во вре.мени задающих и воз.мущающих воздействиях (ст>-пенчатая функция, импульсная функция, гармоническое воздействие и т. д.)

Однако во многих случаях xapaicrep воздействия бывает таким, что его нельзя считать определенной функцией времени. Оно может принимать с течением времени

Здесь - коэффициент усиления части усилителя, охваченной обратной связью, Т= RC - постоянная времени дифференцирующего конденсатора в цепи обратной связи.

в результате получим

самые разнообразные случайные значения. В таких случаях мы можем оценить только вероятность появления той или иной фор.\и>1 возлействия в тот или иной .момент времени. Это происходит не пото.му, что оно неизвестно заранее, а потому, что са.ма природа реального задающего или возмущающего воздействия такова, что величина его в каждый .момент времени и процесс его изменения с течением времени зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом .могут ко.мбиниро-ваться друг с друго.м, появляться одновременно или с любым сдвигом во времени и т. д.

Возьмем, например, систему автоматической стабилизации напряжения электрического генератора. Возмущаюн1ее воздействие .здесь является результатом изменения нагрузки в сети, зависящей от включения, выключения и изменения режи.ма работы множества потребителей электрической энергии.

Другой пример - автонилот. На пего действуют обычно воз.мун;ающие воздействия случайного характера: порывы ветра и изменения других ат.мосферпых факторов, изменение тяги, изменения напряжения гн1тания усилителей и рулевых машинок и т. д.

Третий пример - следящие систе.мы, на вход которых попадают вместе с поле;)-пым сигнало.м помехи. Например, в радиолокационной системе сопровождения отраженный от цели сигнал содержит в себе помехи в виде многочисленных флуктуации, нроисходяпшх от вибраций и поворотов цели, за.мирапия сигнала и т. п.

Анало1Т1Чные помехи случайной природы имеют место в других авто.матических устройствах.

В следящих системах не только возмущающие воздействия и помехи являются случайпы.мн, но и сам полезный сигнал, который должен воспроизводиться (задающее воздействие), как правило, носит случайный характер.

Прежде чем рассматривать поведение автоматических систе.м при случайных воздействиях, напо.мним некоторые сведения о случайных величинах, случайных процессах и об их вероятностных характеристиках.

К категории случайных событий можно отнести такие, точное предсказание протекания которых в каждом отделыю.м случае оказывается невозможным.

Так, например, если бросать .монету, то выпадение герба или цифры будет случайным событием. Если повторить этот экспери.мент Араз, то можно зафиксировать определенное число выпадений герба т и число выпадений цифры N - т. Относительная величина ш/Аназывается частотой события выпадения герба, а величина

-- - частотой события выпадения цифры. Если устремить число экспериментов Л -> оо, то частоты событий будут стремиться к некоторому пределу

lim-= Р, (11.1)

называемому вероятностью данного события. В рассмотренно.м случае очевидно, что обе вероятности выпадения герба и цифры одинаковы и равны 0,.5.

Вероятность каждого события лежит в интервале О < Р < 1.

Если событие является невозможным, вероятность его равна пулю; если событие является достоверным, его вероятность равна единице.

В примере с бросанием монеты рассматривалась дискретная с;1учайная величина, которая могла принимать два фиксированных значения - выпадение орла или решки. Существуют случайные величины, которые могут принимать непрерывные значения. Так, например, если рассмотреть стрельбу из орудия (рис. 11.1), то расстояние L от орудия до места падения снаряда будет случайной величиной, которая на определенном отрезке может принимать все возможные значения. В этом случае можно говорить о вероятности нахождения случайной величитгы L в некотором интервале от1, до Li.

Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Чтобы полностью знать дискретную случайную величину, надо иметь следующие данные:

а) все воз.можные значения, которые она .может нрини.мать при данных условиях задачи или опыта;

б) вероятность появления каждого из этих значений.

Так, например, если дискретная случайная величина может принимать конечное числозначений д: д:2,лз. х и вероятность каждого значения будет соответствен но P, Р2, Р3,Р , то можно представить так называемый закон распределения случайной величины в виде таблицы 11.1.

Таблица 11.1

При этом должно выполняться условие

(11.2)

Пусть, например, производится опыт бросания игральной кости. Очевидно, чтс при каждом бросаггии число выпавигих очков, которое представляет собой случайную величину, может принимать одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Еслг кость совершенно симметрична, то вероятность вьнтадения каждой из этих цифр яв ляется одинаковой. Так как число различных значений, которое .может нринимат! случайная величина, равно шести, то из (11.2) имеем

Л-Р,-Р-Р,

Р5=Рб=1/6.