С =-; К

с, Ту+Т 1 Г

(9.24)

2 К к К

6 К К К

Сравнивая последние выражения с (9.2), можно заметить, что коэффипнеиты и Сз (а также следующие коэффициенты) уменьшаются при введении управлепия по первой производной от ошибки. При соответствующем выборе величины постоянной времени Г., можно добиться условий = О или Сз = 0. При С2 = О система пе будет иметь установившейся ошибки, пропорциональной ускорению.

Аналогичным образо.м, применяя два включенных последовательно дифференцирующих элемента, можно получить равенство пулю одновременно двух коэффициентов, например = О и с3 = 0. В этом случае можно показать, что в системе, наряду с управлением по первой производной от ошибки, будет пспользоват1>ся управление по второй производной. Это вытекает из того, что передаточная функция двух дифференцирующих элементов, вк/гюченных друг за другом в соответствии с рис. 9.8, будет равна произведению двух передаточных функций типа (9.21):

ВД = (1 + Г. р)(1 + T,.j>) = 1 + т,р - xip, (9.25)

где т, = -t- Гд2 представляет собой отношение коэффициентов передачи по первой производной и по ошибке, а Т2 = ТТ2 ~ отношение коэффишгентов передачи по второй производной и по ошибке.

Как видно из рассмотренного, в отличие от случая введения и:юдромного устройства (см. рис. 9.4), когда обращается в нульнервый, ранее отличный от нуля ко.эффи-циент ошибки, введение дифференцирующего элемента (рис. 9.8) не влияет на этот коэффициент оитбки, по зато уменьшает последующие ко.эффициенты. В связи с зтп.м наиболее эффективное снижение ошибки системы может быть доституто н[)и одновременном использовании изодромных устройств и дифференцируюншх элементов.

Так как дифференцирование эквивалентно дополнительному усилению верхних частот, то исиользование более чем двух дифферепцируюпих элементов оказывается затруднительным вследствие возрастания влияния высокочастотных помех. Число же изодромных устройств ограничивается только получаюищмся усложнением системы. Однако и оно обычно не превышает трех.

Для передаточной функции разомкнутой системы (9.22) находим передаточную функцию по оптбке:

1 р(\ + Тур)(\ + Т,р)

UW{p) р(иГурхит р) + ко + т,рУ

Раскладывая ее в ряд, получи.м соотношения для ко.9ффициептов ошибок:

Со=();

§ 9.2. Теория инвариантности

и комбинированное управление

Одним т способов, позволяющих получить высокую точность в системах автоматического управления, является использование .методов так называемой теории инвариантности [52]. Система является инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если после заверп1епия переходного процесса, определяемого па-4ajn>HbiMH ус;ювиями, управляемая величина и ошибка систе.мы не зависят от этого воздействия. Система является инвариантной по отношению к задающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка системы не зависят от этого воздействия.

Оба этих понятия имеют общую математическую трактовку Расс.мотрихг эту трактовку для случая, когда на систе.му действует одно входное воздействие - задаюпгее g{t) или возмущающее f{t). Пусть для 01иибки системы имеет место диффере1щи-альное уравнеште

(яор + а,р + ... +а ) х{1) = (V + Ь.р +...+ (9.26)

где 1)/(0 - задающее или воз.мупшющее воздействие, ар = d/clt.

Решение этого урав1гения имеет две составляющие - переходную x (f) и выиуж-.денпую .T,j(0. Переходная составляющая определяется общи.м решением уравнения (9.26) без правой части, а выпужденпая - частным решением уравнения (9.26) с правой частью.

Изображение ошибки x(t) при нулевых начальных условиях можно представить в следующем виде:

X( )=f£lrtrt=24ii£i, (9-27)

Щр) D{P) Щр)

a(p)=v +V

D{p) = aop + ay-+... +а .

Здесь введено также изображение функции времени \i(t), представляющее собой дробно-рациональную функцию комплексной всчичины р = c+jiu

= (9.28,

В соответствии с теоремой разложения (см. § 7.4) оригинал (9.27) в случае отсутствия кратных корней может быть представлен в виде

х(0 = х (0 + х (0 = 1С> +1 . (9.29)

к=\ 1=1

гдер - полюсы передаточной фу1п<ции, т. е. корпи уравнения D(p) = О, ар,- - полюсы входного воздействия, т. е. корни уравнения В{р) = 0.

Вынужденная составляющая .г (0 будет тождественно равна нулю в следующих случаях.

1. Если Л(р} = О, то x (f) = 0. Этот случай является тривиальным, так как соответствует отсутствию входного во,здействия, и он не представляет интереса,

2. Если Q(p) = О, то такжел (0 = 0. Этот случай соответствует абсолютной инвариантности систе.мы по отношению к входному воздействию v;(f), которое может быть любой функцией времени, т. е. меняться по произвольному закону.

В следящих системах при рассмотрении .задаюп1его воздействия условие Q{p) О означает, что равна нулю передаточная функция по ошибке: ФО) = 0. В шкт записи это означает равенство единице передаточной функции замкнутой системг)!: Ф{р) = = 1 - Ф(р) = 1. Это условие приводит к тому что следящая система должна иметь бесконечную полосу иронускания, так как частотная передаточная функция замкнутой сисгемы ФОш) 1 при всех частотах О < ш < °°. В реальных системах реали.зовать бесконечную полосу пропускания невозможно, поэто.му реа/тизация абсолютной инвариантности по задающему во.здействию сталкивается с иринщишальпыми трудностями.

Замети.м, что в случае, когда следящая систе.ма должна воспроизводить :шдаю-щее воздействие в некотором масштабе k, условие абсолютной 1П1вариаптиости запишется в виде Ф(р) = к. Однако это не меняет существа дела.

При рассмотрении возмущающего воздействия условие Q{p) = О означает равенство нулю передаточной функции но воз.мущающему во.здействию: Ф/,-0) = О, Здесь в нринципе возможно получение абсолютной ипвариантпости поданному воз-.мущению, однако в больппнютве случаев приходится и.меть дело со значительными техническими трудностями.

3. Равенство нулю вынуждещюй составляющей будет наблюдаться для таких входных функций, изображения которых и.меют все полюсы, т. е. все корни уравнения В(р) = О, совпадающие с нулями нередаточгюй функции, г, е. с корнями уравнения Q(p) = 0. В этом случае после разложения на множители полино.мов В(р) и Q(p) можно сократить одинаковые сомножители вида (р - р,) в числителе и знаменателе изображения (9.27). В резулг>тате второе слагаемое в выражении (9,29) обращается в нуль и x {t) = 0.

Этот случай соответствует частичной инвариантности. Система будет инвариантна к входным во.здействиям онределещюго вида, например к воздействиям, которые могут быть представлены в виде степенной функции времени с положительными и ограниченными стененями, в виде суммы эксионент с заданными постояпиы.ми времени и т. п.

Вводится также понятие инвариантности системы но отношению к какому-либо входному воздействию с точностью до е. Здесь имеется в виду не тождественное равенство нулю вынужденной составляющей ошибки х(с), а приближенное ()авенство, мерой выно;н1ения которого является некоторая величина е. Для оценки выполнения инвариантности до е существуют различные критерии, сливающиеся практически с критериями точности рассмотрепны.ми в главе 8.

Основным методом, используемы.м при построении инвариант1П)1х систем, является применение так называемого комбинировашюго управления.

Ко.мбиаированное управление. Под комбищцюванным управлением попима-ется такой .метод построения замкнутых автоматических систем, когда, наряду с уп-