Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка

dx

;Г = Е /Л +Е(г =1, 2,..

(8.101)

где (3; и hj - постоянгпяе коэффициенты, - фазовые координаты, а Д(г:) - внешние воздействия. Начальные условия в системе: прн I = О х, = (г =1,п). Уравнения чувствительности получаются из (8.101) дифференцированием по Baj)bnpye-мо.му параметру о, от которого могут зависеть коэффициенты a,, и b:

du-

- = Е /Лу+Ес,Л, + £4/(0 (ii2.....и), (8.102)

где и ~ частные производные от коэффициентов системы урав-

нений (8.101) по варьируемо.му параметру а-. Уравпения.м (8.102) соответствуют на-

начальные значения х] не зависят от

чальные значения

uf: = - (г = 1.....п). Если

параметра о,-, то уравпепия.м (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.

Для решения (8.102) необходимо предварительно решить совокушюсть уравнений (8.101) и определить походное движепиех,- (1) (i = 1,п).

Для пахождепия функций чувствительности и дополнительного движения удобно использовать иеродаточные функции системы. Пусть, например, управляемая ве-Л1гчи[га г/ (С, а,) связана с задающим воздействием зависимостью

у (f, а,.) = L[Y(j7, aj)] = 1\Ф (р, а,) G (;;)], (8.103)

где 0{р) - изображение задающего воздействия.

Функция чувствительности может быть получена иэ (8.103) дифференцированием но параметру о,:

Д0 = = Г

Э а,

дУ{р, aj) Э aj

= 1

дФ(р, ttj)

Э а,

G(P)

= L-[Sj(p)G(p)]. (8.104)

Здесь введена функция чувствительности передаточной функции

041 и. И л

дФ(р, aj)

Э а,

(8.105)

которая определяет первое приближение дополнительной передаточной функции, равной разности варьируемой и исходггой передаточных фушсций при вариации параметра о,-:

ДФ, (р, aj)= Ф (р. о,) - Ф(р. aj) = Sj(j)) ДО,. (8.106)

Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра не меняет порядка характеристического уравнения системы.

Может также использоваться так называемая логарифмическая функция чувствительности

дФ(р, Uj) dUj Э1пФ(р, а)

Ф(р, aj) Uj d\naj Ф(р,

SjiP).

(8.107)

Формула (8.107), строго говоря, .может использоваться в тех случаях, когда ф(р, а,) и о,- представляют собой безразмерные величины. Если эти величины размерны, то их логарифмирование воз.можно, если использовать прием, указанный в §4.4.

Найдем дополнительную иередаточггую функцию для случая, когда исходная передаточная функги1я .может быть представлена в виде от1юшения двух н( гиномов:

/ ч с / чл ЭФ(Аау) Э R(pMj) ФJ(p) = S(p)aJ =---Да =---7--

D(pMj)-

АН{р)-Ф(р,а,)АО(р)

(8.108)

где AR{p) и AD{p) - вариации полиномов числителя и зна.менателя передаточной функцшг.

Формула (8.108) позволяет составить структурную схему .модели чувствительности в виде, изображенном па рис. 8.27. Эта схема .может быть использована для нахождения функции донолнительиого движения Дг/(0 или функции чувствительности u{t) = Ay{t): Aaj расчетным ггутем или \годелированием на ЭВМ.

Составим, напри.мер, .модель чувствительности для передаточной функции за.мкнутой системы

К + Кхр +

(8.109)

при вариации ггараметра т. В соответствии с излoжeнныr находим A.R{p) = AD(p) = = Kj,Ax. Равенство прирапгений числителя и знаменателя Ф{р) позволяет упростить схе.му модели. Она изображена на рис. 8.28, а в исходном, а на рис. 8.28, б - в нреоб-разовагнгом виде.

-Ф(р)

АР(р)

K4(p+p4-y(t)

Кр&х

К+Кхр+р-

КрАх ККхр+р~

КрАх К+Кхрр

АФ(р, а ...,а)-£

/=iL

ЭФ(р, а ...,а)

Если к системе приложено несколько внешних воздействий [g(0>/i(0 -- (О], то следует [гайти дополнительные передаточные функции для всех исходных передаточных функций, определетплх для каждого внешнего воздействия.

Функции чувствительности критериев качества. Если в системе произошли изменения ряда параметров Да(/ = 1,..., т), то результирующее изменение некоторой используемой оценки качества

А/ = /-/,

(8.111)

где 7 - варьированное значение оцетгки качества, а / - ее исходтгое значение, можно подсчитать по фор.муле полного дифференциала

A/ = £L;Aa-.

(8.112)

Так как в большинстве случаев известны только вероятностные оценки Bajjna-ций До-, то целесообразно использование вероятиостпых .методов. Так, если известны макси.мальные возможные отклонения Дау , то при их независимости друг от друга можно найти С1)еднеквадратичный .макси.мум отклонения оценки качества

I(t/,Aa, )2

(8.113)

и среднеквадратичный относительный максимум

Атах =

max

(8.114)

Если заданы дисперсии отклонений параметров Dj = М [(Да,)] и отклонения пезависи.мы, то можно найти дисперсию оценки качества

(8.115)

В качестве критериев оценки качества систе.мы .могут использоваться, например, макси.мум ошибки, коэффициенты овичбок, оценки запаса устойчивости и быстродействия, интегральные оценки и т. и.

В общем случае, когда передаточная функция аависит от ряда варьируемых параметров, доиолпительная передаточная (1)ункиия