Так как резоналогая частота Шр ггриблизительгго соответствует частоте колебаний замкнутой системы в переходном процессе, то время достижения пе])вого максимума t, на ггереходной характеристике (рис. 8.3) может быть определено по приближенной зависимости

п п

-=- (8.91)

(Ор (0,р

Если переходный процесс в систе.ме заканчивается за 1-2 колебания, то время переходного гг1)оцесса можно определить гю приближенной зависимости

f =(U2)--(12)-. (8.92)

% ,р

Сравнение фор.мул (8.71) и (8.89) показывает, что эквивалентная полоса про-пускаггия (Од совпадает с точностью до постояиггого множителя с интег1)альной квадратичной оценкой определяемой фор.мулами (8.67) и (8.68). Совпадение будет полным, если рассматривать всю эквивалентную полосу пропускагшя от -(o = -2л/, до -Ь(Оз = 2л/з и измерять ее в Герцах. Тогда получаем

АЛ = 2/, = = 1] ф( 2(0=/. (8.93)

§8.9. Чувствительность систем управления

Действительные значения пара.метров системы у!гравлепия практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельных .элементов, изменением параметров в nporiecce хранения и эксплуатации, изменением внеигних условий и т. д.

Изменение параметров .может привести к изменению статических и дииамнчес-ких свойств системы. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе ггро-ектирования и настройки системы.

Степень влияния изменения отделыгых параметров на различные характеристики системы оценивается ггосредством чувствительности. Чувствительностью называется некоторый показатель, характеризуюгций свойство системы изменять ре-Жим работы при отклонении того или иного ее параметра от номинального или исходного 31гачения. В качестве оценки чувствительности иснолюуются так ггазываемые функции чувствительности, представляюнще собой частные производные г-й координаты систе.мы по вариации j-ro параметра,.

dajj

Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производные должны приниматься равпы.мизначет1ЯМ,соответству10нп1М номинальным (расчетным) параметрам.

Функции чувствительности временных характеристик. Посредством э гих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров систе.мы от расчетных значений на временные характеристики систе.мы (переходную функцию, функцию веса и др.).

Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчет-иььм значениям и не имеют вариаций. Этой систе.ме соответствует так называемое основное движение.

Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров. Движение ее называют варьированным движением.

Дополнительпьш движением называют разность .между варьированны.м и основным движением.

Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка

-Fi{x,...,x, a,...,a ) {i=\,2.....п). (8.96)

Рассмотрим мгновенные вариации параметров До- 0=1- > так что параметры приняли значения + До. Рхли изменения параметров пе вызывают из.менения порядка дифференциального уравне1гия, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений

= i(i ...,i , а,+Да1,...,а + Да, ) (г = 1, 2,и). (8.97) dt

Для дополнительного движется можно записать

Sxi{t) = x-Xt)-Xi{t). (8.98)

При условии дифференцируемости х,(0 и Х;(0 по параметра.м а,(/ ° 1- ) дополнительное движение .можно разложить в ряд Тейлора.

Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться лшгейными чле[гами ра.зложения. Тогда получим уравиепия первого приближения для дополнительного движения

Ar;(f, Да ...,Да ) = 2] Да-Х (,Да>. (8.99)

Эа,- , V 1J

или часл чгые производные от используемого критерия качества / по;-му параметру,

(8.95)

Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям при До,- = 0.

Таким образом, первое ириближение для донолпительпого движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что иснользоваггие функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие оншбки вследствие необходимости вычитать две блггзкие величиггы.

При значителыгых вариациях Да, может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.

Дифференцирование исходных уравнений (8.96) по о,- приводит к так ггазывае-мым уравнениям чувствительности

d dt

Uig +

(8.100)

(г = 1, 2,n; j = 1, 2,m).

Решение .этих уравнений дает функции чувствителыгости Щр Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решеггие их затрудиителыго. Более целесообразен путь структурного построещ1я модели, используемой для нахождения функций чувствительности [40, 82].

Обратимся теперь к линейным системам. Не снижая общности рассуждений, можно рассматривать случай изменения одногоу-го параметра.

В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени па выходе системы. Так, если передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)

,V(0 =

(1 + 7з/;)(1 + Г,р)

При поступлении ira вход ступеггчатой функции g (0 = go КО иа выходе будет

.V(0 = go

1(0.

Пусть, например, вариацию претерпевает постоянная времени Г3. Тогда дифференцирование последнего выражения ио даст функцию чувствительности по этому параметру

Ы) \(Т,-Т,У-ТЛ]е -ТЛе

go 1(0-

Дополнительное движеггие при этом будет Дг/(0 = u(t) АТ, где ДГз - вариация постояшгой времени Г3.