Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

-90°


со, с

Рис. 8.24

Из выражения (8.86) можно найти, в частности, максима.1ьный запас но фазе обычным методом отыскания максимума:

1 Vm

M-max - arccos-рг = arccos-

(8.88)

Этот максимум получается, когда модуль A = yjc . Если имеется построепная л. а. x. (рис. 8.24), то по имеющимся р.-кри-вы.м и при заданно.м значении М можно достроить требуемое значение загаса по фазе для каждого значения модуля. Это постро-enire должно делаться для модулей, лежа-И1ИХ в пределах (8.87). В результате будет получена запретная область для фазовой характерисгики. Чтобы показатель колебательности был не больше заданного значения, фазовая характеристика не должна заход1гть в эту область. Нетрудно видеть, что определение качественного показателя, характеризующего запас устойчивости, делается здесь одновременно с 01гределепием устойчивости.

Удобство показателя колебательности определяется также тем, что запас устойчивости характеризуется здесь одним числом, имеюиим для достаточгго широкого класса систем сравнительно узкие пределы (1,1 + 1,5).

Если в полипоме числителя передаточной фуикпии разо.мкнутой системы W{p) нет корней с гюложительной вещественной частью, то возможность получения требуемого запаса устойчивости за.мкнутой систе.мы может быть предварительно установлена непосредственно по виду л. а. х. разомкнутой системы. Такая возможность существует, если л. а. х. в окрестностях частоты среза C0j., (рис. 8.25, а) или вблизи нее (рис. 8.24) имеет асимптоту с иаютоном -20 дБ/дек (или с нулевым наклоном, что встречается гораздо реже). На рис. 8.25, а протяженность этой асимптоты h = Шг/ш,. Чем больше h, те.м больпге ожидаемый запас устойчивости. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два предельных случая.

Пусть л. а. x. состоит только из одной асимптоты с наклоном -20 дБ/дек (рис. 8.25, б), что соответствует передаточной фупкпии W {р) = К/р. Тогда замкну-

-180

-90°


W -180°

-90°




тая система очень хорошо демпфирована, так как запас устойчивости по амплитуде 1 = оо, но фазе р.; = 90 , а показатель колебательности (см. рис. 8.2.3) М = 1, При наличии дoпoлнитeплloгo излома (показано пунктиром на рис. 8.25, б, а также см. рис. 8.24) запас устойчивости уменьшается.

Пусть теперь л. а. х. состоит из одной асимптоты с наклоном -40 дБ/дек (рис. 8.25, в), что соответствует передаточной функции W{p) = К/р. Нетрудно убедиться, что в этом случае замкнутая систе.ма находится на колебательной границе устойчивости, а при наличии дополнительного и.злома (показано пунктиро.м) становится неустойчивой.

Таким образом, если л. а. х. разомкнутой chctcyhjI пе и.меет асимптоты с наклоном - 20 дБ/дек (или с иулевы.м наклоном), то ие обеспечивается даже устойчивость замкнутой системы.

Bo;iee дета;м>110 связь .между запасом устойчивости и протяженностью h будет рассмотрена в §12.6.

Оценка быстродействия может производиться по частотгимм характеристика.м замкнутой и разомкнутой системы. При рассмотрении замкнутой системы обычно исноль.зуется амплитудная частотная характеристика (рис. 8.19).

Для оценки быстродействия по этой характеристике могут использоваться сле-дуюн1ие величины:

со - резонансная частота, соответствующая пику а. ч. х.;

со - частота, соответствуюишя полосе пропускания за.мкнутой системы и определяемая из условия А (со ) = 0,707;

(И - частота среза, соответствующая условию А (со ) = 1;

сОз - эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы, определяемая по выражению

Ыз = 11 Ф( й?a), (8.89)

где I Ф (/со) I = А (со).

Эквивалентная полоса пропускания представляет собой основание прямоугольника (рис. 8.19), высота которого равна единице, а площадь равна площади под кривой квадратов модуля Ф (/со).

В отличие от показателя колебательности, который является ггекоторой безразмерной характеристикой и лежит в сравнительно узких пределах, приведеггные вгягпе характерпгяе частоты, онределягоиие быстродействие системг>г, и.меют размерггость и их допустимые значения .могут сильно меняться в зависимости от типа и назначения системы. Здесь наблюдается полная апа-тогия с критериями качества, осггован-ггыми на рассмотрении кривых переходггого процесса. Допустимое зпачеггие ггерере-гулирования а % (рис. 8.3) лежит в сравнителыго узких пределах для систем самого различного назначения, а допустимое время переходггого ггроцесса t может меняться от долей секуидг)! до нескольких часов и более.

Допустимгяе значения сОр, со , м или со до.тжиы устанавливаться для гсаждой конкретной системы на основе изучения условий ее эксгг.туататгии. При :отом харак-



Ф(р) =

1 + 2СГр + Г

(8.90)

Для этой передаточной функции сравнительно просто найти, как зависят величины, которые определяют запас устойчивости: перерегулирование а%, показатель колебательности М и запас устойчивости по фазе р от пара.метра затухания . Соответствующие кривые приведены на рис. 8.26, а. На

а) а% Из

50 100

40 80

30 60

20 40

10 20

>

),707

О 0,25 0,50 0,75 ?

2,0 М

рис. 8.26, б дается зависимость между перерегулированием а% и показателем колебательности Ы для той же передаточной функгши (8.90).

Кривые, приведенные на рис. 8.26, в некоторой мере характеризуют связь между показателями качества и в более сложных случаях, чем выражение (8.90).

теризовать быстродействие системы может как вся совокупность указанных выше величин, так и каждая из них в отдельности.

При определении быстродействия но частотной передаточной функции W (ju)) разомкнутой системы может использоваться частота среза ыр, которая определяется из условия mod W(/cop) = 1 или L ((лр) 0. Эта частота показана, например, на рис. 8.2 и 8.24.

Определите частоты среза ра;юмкпутой системы может быть сделано па диаг-ра.мме, изображенной па рис. 8.18, по точке пересечения а. ф. х. с окружностью единичного радиуса, центр которой расположен в начале координат.

Резонансная частота замкнутой системы Ыр близка к частоте колебаний системы в переходном процессе. Значение сОр может быть приближенно определено по точке а. ф. X. (рис. 8.18), которая ближе всего расположена к точке (-1,;0).

Частота среза (ор во .многих случаях близка к резонансной частоте системы (Ор.

Удобной и наглядной .мерой быстродействия системы является также частота со (рис. 8.2), при которой задающее воздействие вида g = g. sin ш,/ отрабатывается системой с амплитудой ошибки пе более х ,,..

Хотя приведенные выше частоппле критерии запаса устойчивости и быстродействия могут рассматриваться независимо от свойств системы во временной области, представляется полез1№1М провести некоторое приближенное сопоставление частотных и вре.мегтых характеристик.

Если показатель колебательности М > 1, то замкнутую систему можно аппроксимировать ко.чебательным звеном (см. § 4.5). Тогда передаточная функция замк1[у-той системы .может быть представлена в виде



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248