Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

где 1У (/ш) ~ частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель колебательности (и.меется в виду наибольший максимум)

Л/пшх = ф(; )

и(;ш)

(8.82)

1 + ( , ..

Как видно из этих рассуждений, показатель колебательности определяется посред-cTiiOM задания зада10п1его воздействия g g ,. , sin Ш.. В принципе возможно определение поюиателя колебательности системы посредством задания возмунхающсго во,здей-ствия/ = /тах отыскэния относитсльпой всличипы рсзонаисиого пика.

Чем меньше запас устойчивости, тем бо.тьше склонность системы к колебаниям и тем вьпне резонансный пик. Допустимое значение показателя колебательности определяется па основании опыта эксплуатации систем управления. Считается, что в хорошо демпфированных системах пока.затель колебательности пе должен превосходить значений 1,1 1,5, хотя в некоторых случаях можно допускать величины до 2 2,5.

Для отыскания показателя колебательности пет необходимости строить амп.ти-тудпую частотную характеристику (рис. 8.19) или отыскивать максимум (8.82). Существуют приемы, П03В0ЛЯЮН1ИС найти показатель колебательности по виду амгиш-тудпо-фазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на а.мп.титудпой характеристике (рис. 8.19) некоторую точку а, которой соответствует ордината М, и отобразим эту точку иа комплексную плоскость частотной иередаточной фупкгцти разомкнутой систе.мы. Для этого рассмотрим уравнение

modO(;co) =

W(;a))

Сделаем подстановки U = Rc 1У (/со) и У = Im W Тогда

U + jV

\+и+jV

-=м.

(8.84)

(8.85)

Это есть уравнение окружности с раднусо.м Яи с цент[)о.м, смещенпы.м влево от начала координат на величину С.

Возводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований получим

(U+Cf + V = R\ (8.83) I




Задаваясь различными значениями М от 1 до °°, можно построить семейство таких окружностей (рис. 8.20). На каждой окружности написано значение ординаты амплитудной частотной характеристики. При М = I окружность вырождается в прямую линию, параллельную оси ординат и проходящую слева от нее па расстоянии 0,5. При М-> о° окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой (-1, /0).

Для значений ординат амплитудной характеристики, лежап1их в пределах О < М< 1, получается семейство окружностей, расположенных справа от линии М = 1, симметрично с первым семейством. При М = О окружность вырождается в точку, совпадающую с началом координат. Для построения амплитудной характеристики (рис. 8.19) достаточно в тех же координатах, где построены окружности М = const, нанести амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы. Точки пересечения этой характеристики с окружпостя.ми будут определять точки амплитудной характеристики с соответствующими значениями ординат, рав1И)ШИ М. Для определения показателя колебательности можно не строить а.мплнтудпую характеристику, так как достаточно знать одно максимальное значение ординаты М, определяемое по наименьщей окружности М = const (М 1), которой коснется а.мпли-тудно-фазовая характеристика.

Если при проектировании систе.мы ставится условие, чтобы ее показатель колебательности был пе больше некоторого заданного значения, напри.мер М. = 1,5, то для выполнения этого необходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не заходила в область, ограниченную соответствующей окружностью (рис. 8.21). Лмп-литудио-фазовая характеристика .может только коснуться этой окружности. В это.м случае показатель колебательности будет как раз ранен заданному значению М ,-

Таки.м образом, окружность jVf, j ограничивает запретную зону для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта зона охватывает точку (-1,;0) и обеспечивает получение заданного запаса устойчивости.

Величина показателя колебательности .может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого отобразим запретную зону (рис. 8.21) па логарифмическую сетку Рассмотрим отдельно окружность заданного показателя колебательности (рнс 8.22).

На окружности возь.ме.м произвольную точку В и построим вектор, соединяющий эту точку с кача-

Рис. 8.21

0 *



г, -Ж



Рис. 8.22

-40 4 8 12 16 20 Модуль в децибелах

Рис. 8.23

ЛОМ координат. Установим для этого вектора связь между его модулем А и запасом по фа,зе р. Из треугольника ОБО, но теоре.ме косинусов находим

Далее можно иайти

co.sp =

2 АС

( М

М--1

и окончательно

р = arccos-

2АС

(8.86)

Из рис. 8.22 нетрудно видеть, что зависимость (8.86) существует только для модулей, лежащих в пределах

М , М <А<-

(8.87)

Ь случае, когда А<--- или А>----, запас по фазе может быть люоы.м, так M-v\ М-1

как в этом случае конец вектора ие может попасть в запретную зону (рис. 8.22).

Задаваясь различнььми значениями показателя М. = const, а следовательно, и С = const (8.84), но выражению (8.86) .можно построить графики р =/(Л), которые носят название [i-кривых. Эти графики строятся обычно таки.м образом, что модуль А откладывается в децибелах (рис. 8.23).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248