его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа или Хевисайда-Кар-сона. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением

X(p)=jx(t)e- dt.

Отсюда следует, что интеграл (8.53) может быть найден посредством предельно го переходар 0:

\x(t)dt=]\m \x{t)e-Pdt = InnX(p).

р->0

(8.54)

Неудобство.м интегральной оценки вида (8.53) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонениях. Если же имеет место колебателып>1Й процесс (рис. 8.13, б), то при вычислении интеграла (8.53) пло1цади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем управления может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53) оказывается практически нецелесообраз-ныхг Поэто.му предлагалась другая интегральная оценка:

l2=l\x\dt,

(8.55)

т. е. сум.ма абсолютных величин всех плопщдей под кривой переходного 1Ц)оцесса, Ио оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительно.

Квадратичная интегральная оценка. В свете вышесказанного целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке

I=jxdt (хО при tоо),

(8.56)

кото1)ая пе зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной).

Величина / (8.56) будет те.м меньше, Че.м меньше су.мма заштрихованных на рис, 8.14 площадей (взятых для квадратов ординат), т. е. чем лучше переходный процесс приближается к идеальному скачку управляемой величины вслед за скачко.м задающего или возмущающего воздействия. Ниже будет показано, что такая оценка не всегда является лучпгей, по пока остановимся на ней.

I = blr4t = %]x4t, (8.57)

О -О

гдеж = x{t) обозначает отклонение управляемой величины в переходном процессе от ее нового установив1иегося значения: x(t) = y(t.) - у(°°); С - некоторая величина, имеюшая размерность управляемой величины, например статическое отклонение г/(оо); Q.q - среднегеометрическое значение корня характеристического уравпе1Н1я (8.26).

Рассмотрим один из возможных способов вычисления квадратичной интегральной оценки (8.56) при скачкообразно.м внешнем воздействии.

В обшем случае дифференциальное уравнение системы (в си.мволической операторной записи) согласно (5.5) имеет вид

Dip) y(t) = Bip) g(t) - N(p)f(t), (8.58)

где y(t.) - управляемая величина или ее отклонение, g{t) и f(t) - задающее и возму-щаюпюе воздействия.

Степени многочленов В(р) и N{p) обычно ниже, чем D(p); в некоторых случаях они могут иметь ту же степень, что и полипом D(p). Пусть переходный процесс вызывается единичным скачком 1(0 либо функции/npHg= const, либо функцииg при /= const. Положим, например, что рассматриваем скачок .задающего во.здействия g(0 = КО- Изображение Лапласа тако1-о скачка будет С(р) = 1/р. Перейдя в фор.муле (8.58) к изображениям, получаем

Dip) Yip) = Bip) 1/р. (8.59)

Изображение управляемой величины г/(0 представляет собой дробно рациональную функцию:

Y(P)= --- (8.60)

aop +aip +... + а Р

Отклонение х управляемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе, входящее в формулу (8.56), будет

xit) = yit)-yioo) = yit)--i,

Tjxcyit) есть решение уравнения (8.59), а также оригинал изображения (8.60).

Для изложе1тых условий при т< п ниже без вывода приводится фор.мула [89], по которой .может быть вычислена квадратичная интегральная оценка:

I = ]xdt. = -4-(й А + В, ..,Л , ... В2А2 + А А, + ) - 4. (8.61) о 2а А а

Заметим, что оценку (8.56) называют также квадратичной динамической ошибкой. Ее можно записать в безразмерном виде:

где А есть следующий определитель и-го порядка (равный старшему определителю Гурвица, но записанный в несколько иной форме):

(8.(i2)

Па границе устойчивости А = О и I .

Через а/ (к = т, т - 1, 2, 1, 0) в формуле (8.61) обозначены определители, получающиеся путем замены в определителе (8.62) (т- к + 1)-го столбца столбцом

(8.63)

Коэффициенты В , S ... вычисляются по формулам: Bm=bl

B, -2=bl 2-2b ,b ,+2hJ

(8.64)

B,=bl

В определителе (8.62) заменяются нулями все буквы с индексами .меньше нуля и больше и, а в формулах (8.64) - с индексами .меньше нуля и больше т. В том случае, когда т = п, формула (8.61) заменяется следующей:

г=\хл=-\-(В а +в1,а ,+...+В2А2+в;ао-

п 2afA а:

(8.65)