Уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает

Л = 3а, В = За-\ 1 = а(а + ).

В результате совместного решения последних трех равенств получаем после исключеття а и Р искомое уравнение, соответствующее граничному случаю:

2А- 9АВ 27 = О, А<3.

Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую CD.

В результате область устойчивости разбивается натри части; I, II, 1П (см. рис. 8.9). Этот график называется диаграммой Вышнеградского. Он построен им в 1876 Оду в работе, которая положила начало развитию теории автоматического управления. На рисунке показан характер расположения корней внутри каждой из этих частей области устойчивости.

В области III, где все корни BcniecTBeinibie, в зависи.мости от начальных условий получим апериодический переходный процесс в одщ)й из форм, показагтых на третьем графике рис. 8.10. Область III носит название области апериодических процессов.

В областях I и II, где имеется один вещественный корень и два комплексных, переходный процесс будет и.меть соответственно формы, показанные на первых двух графиках рис. 8.10. В области I быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной составляющей. Это будет область колебательных процессов. В области II, наоборот, быстрее затухает колебательная составляющая. Это будет область монотонных процессов.

Диаграм.ма Вышнеградского но.чучила дальнейшее развитие. Для более точной оценки характера переходного процесса па ней можно нанести вспомогательные линии, разбиваюни-ю области I, II и 111 на еще более мелкие части, что позволит иметь более полное суждение о быстродействии и запасе устойчивости. Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные способы уточнения диаграммы Вышнеградского посредством нанесения линий равной степени устойчивости (для оценки быстродействия) и линий равного затухания (для оценки запаса устойчивости).

Для нанесения линий равной степени устойчивости об[)атимся к нор.мированпо-му характеристическому уравнению (8.49). Для получения смещенного уравнения введем новую переменную, определяемую соотношением q = q- rq, гдето обозначает степень устойчивости для нормированного уравнения. Дляисходного уравнения (8.47) согласщ) (8.48) степень устойчивости будет

11 = Т1оо=Ло? -.

Смененное уравпение имеет вид

qf + Aq + A2q + А = 0.

(8.50)

Коэффициенты этого уравнения: Л, = -Зло + Л, Л2 = Зл - 2Лло + В,

Применим к смещенному уравнению условие границы устойчивости. Колебательная граница устойчивости, соответствующая чисто мнимым корням смешенного уравнения (8.50), будет при выполнении условия Л1Л2 = Л3. Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет при Л3 = 0. Первое условие при подстановке :н1а-чений коэффициентов приводит к уравнению

а второе дает

В = ЛЛо-Ло +

(8.52)

г;=100Уо

:=100%

§ 8.7. Интегральные оценки

Нптегра.тьцые оценки и.меют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения унрав.чяемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности. Простейшей иптегра.мьной оценкой может служить величина

(8.53)

rjiex(t) - отклоиепис управляемой величины от нового установившегося значения, которое она будет и.меть после заверпюния переходного процесса.

В устойчивой системе жО при г °° и этот интеграл имеет конечную величину Геометрически это будет площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рис. 8.13, а).

Площадь будет тем .меньше, че.м быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому пара.метры систе.мы реко.мендуется вывн-рать таким образом, чтобы добиваться ми-ни.мума этой интегральной оценки.

Для вычисления интеграла (8.53) нет необходимости в нахождении x(t), так как

На основании полученных уравнений, задаваясь различными значениями rio = const, можно построить па диаграмме Вышнеградского линии одинаковых значений нор.мированпой стене]ш устойчивости (рис. 8.11). По уравнению (8.51) построены кривые rio = const в области 1, так как там, согласно рис. 8.9, ближaйиJими к мнимой оси являются ко.мплексные корни. Кривая Ло ° совпадает с границей устойчивости. Уравнение (8.52) дает прямые, которые нанесены в областях П н П1.

Как видно из диаграммы, наибольшая степень устойчивости щ = 1 имеет место в точке С с координатами Л = 3 п В = 3. Следовательно, эта точка соответствует наилучшим значениям параметров с точки зрения величины степени устойчивости. Однако, как уже отмечалось, степень устойчивости является приближепной оценкой быстроты затухания переходного процесса. Поэтому при выборе параметров систе.мы управления практически нет смысла попадать именно в эту точку диагра.м.мы. Можно считать, что наилучшей областью параметров системы будет область, прилегающая к точке С, например внутри за.мкнутой кривой tq = 0,5.

На рис. 8.12 приведена диаграмма Вышнеградского с напесепны.ми линиями равного затухания С = const. (Аналитические выкладки не приводятся ввиду громоздкости). Эти же линии являются, но существу, и линиями равной колебательности р. = const, так как колебательность и затухание связаны между собой фор.мулами (8.41) и (8.42).