§ 8.3. Коэффициенты ошибок

Рассматриваемый метод .может применяться как для задающего g(r), так и для возмущающего f{t) воздействий. Не снижая общности рассужде1гий, рассмотрим случай, когда имеется только задаюгцее воздействие.

Если функция времени g{t) имеет произвольную фор.му, jro достаточно плавную вдали от начальной точки процесса в то.м смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число т производных

dt dt dt

to ошибку системы .можно определить следуюгци.м образом. Из формулы (5.19) можно найти изображение ошибки

ад = Ф,(р)С(р) = -, (8.18)

\+W(p)

где Фд.(р) - 1гередатоЧ1Гая функция замкнутой системы по оптбке, G(p) изображение задающего воздействия.

Ра.зложим передаточную функцию по ошибке в выраже1Гии (8.18) в ряд но воз-растаюип1,м стенепям комплегссной велич1гны р:

Х(р) =

G(p), (8.19)

сходящийся при .малых значениях р, т. е. при достаточно больших значениях времени t, что соответствует ycтaнoвившe4ycя процессу изменения управляемой величины при заданной фор.ме задающего воздействия.

боваиия к л. а. х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в установившемся режиме была не больше заданной. Для отого необходимо но заданному значению амплитуды задающего воздействия g ,., и допустимой а.мнлитуде ошибки Хп,ах вычислить требусмое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой систе.мы в децибелах:

- 20 Ig Л(ш,) = 20 Ig g ,/x, . (8.17)

Это значение модуля нсобходи.мо отложить на логариф.мической сетке при частоте управляющего во.здействия ы = со,. Полученная точка Л, (рис, 8.2, б) обыч11о называется контрольной точкой для л. а. х. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе пе превосходила допустимого значения х ,. , л. а. х. должна проходить не ниже контрольной точки Л]. Если л. а. х. пройдет через эту точку, то а.мплитуда ошибки будет как раз равна допустимому значению. Если л. а. х. пройдет ниже точки Aj, то ошибка будет больше допустимого значения.

Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем фор.мулу для установившейся опгибки

(8.20)

Величины Со, с Cj,... называются коэффициентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу ра.зложения функции в ряд Тейлора по формулам

С0=[Ф.г-(р)

Так как иередаточ1гая функция по ошибке ггредставляет собой дробно-рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (8.19).

Коэффициент Cq может быть отличным от нуля только в статических системах и то только в тех случаях, когда не принимаются меры по устранению первой составляющей статической ошибки посредством масштабирования или использования не-единичных обратных связей (см. § 9.3).

В системах с астатизмом первого ггорядка Cq = О, а коэффициент с, связан с добротностью ио скорости соотггошепием

с, = \/Ку.

В системах с астатизмом второго порядка

Cq = О и Ci = О,

а коэффициент c-i связан с добротностью по ускорению соотношением

С2/2 = 1/К,. (8.22)

При исследовании ошибки от возмущаюгг1его воздействия можно получить все коэффициеггты не равггыми нулю при астатизме любого порядка, так как астатиз.му по задающему воздействию может соответствовать наличие статической ошибки по возмущению.

Если задающее воздействие g(i) и.меет ограниченное число производных, го ряд (8.20) будет иметь ограниченное число членов. Предположение, что коэффицийгты ошибок представляют собой постоянные числа, обусловливает применение этого метода для сравнительно медлеигго меняюп1ихся входных воздействий g{t) или f{t), когда можно пренебречь влиянием переходной составляющей процесса и рассматривать только вынужденное движение системы.

Пример. Определим первые три коэффициента ошибки по задаюп1е.му воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

М(р) =

К1+Р1Р)(1+ад

Передаточная функция по оншбке

1 1\Т2р+(Т,+Т2)р+р

UWip) Т,Т2Р+0]+Т2)Р2+р + К Деля числитель на знаменатель, получаем ряд

К,: К,

Т{Г,-2-

Сравггение этого ряда с (8.19) дает 1 . С2 Т+Т2

L- £i=ZiZi 2Zi±Zi кГ 6 к.

Так, например, если задающее воздействие в этой системе меняется по закону

то установившаяся опгибка будет

-уст

= +1(Г,+Г2Ж.-1].

На осповапии изложенного выше можно сделать вывод, что ненулевые составляющие ошибки как от задающего, так и от возмущающих воздействий (кроме ошибки чувствительного элемента ) во всех типовых режимах можно уменьшить за счет увеличения коэффициента передачи разомкнутой системы К. Однако, как было показано в гл. 6, в больпгинстве случаев при увеличении за.мкнутая система приближается к колебательной границе устойчивости, т. е. уменьшается ее запас устойчивости. При некотором значении К> К замкнутая система становится неустойчивой.

§ 8.4. Определение запаса устойчивости

и быстродействия по переходной характеристике

Оценку запаса устойчивости и быстродействия мож}го произвести по виду кривой переходного процесса в систехге автоматического управления при некотором типовом входном во.здействии, которы.\с .может быть как задающее, так и возмущающее воздействие. В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачок. В этом случае кривая переходного процесса для управляемой величины будет представлять собой переходную характеристику систе.мы (рис, 8.3). Она может строиться для величины y{t) или для ошибки x{t).