ния, которая устанавливает следующее. Если изображение Лапласа имеет вид отношения двух многочленов

то при отсутствии нулевых корней зпа.мепателя

m-ife \ (7.37)

raepi, - некратные корни знаменателя (7.36).

Если знаменатель изображения Лапласа (7.36) имеет нулевой корень (р = 0), то изображение надо представить в виде ,

Тогда оригинал может быть найден но формуле

Аналогичнььм образо.м теорема разложения может быть записана и для преобразовании Карсона-Хевисайда. Так, например, есги изображение искомой величины может быть представлено в виде отношения двух полино.мов

то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будет определяться выраже1И1ем

ХзФ) ы РкХз(Рк)

Это выражение полностью совпадает с формулой (7.39), так как изображения Лапласа (7.38) и Карсона-Хевисайда (7.40) отличаются на множитель р.

Использование изображений часто называют также операторным методом, хотя в действительности операторному методу, разработанному Хевисайдом, оказывается полностью ана-10гичпым использование только преобразований Карсона-Хевисайда (7.21) и (7.22).

Метод использования изображений обладает тем нреимушеством, что в нем полностью сохраняется лишь одна операция - вычисление корней характеристического уравнения (знаменателя изображения). Что касается определения произвольных постоянных интегрирования, го эта операция отпадает, потому что начальные значения автоматически учитываются в процессе решения с са.мого начала (при нахожде-

НИИ изображения искомой величины). Поэтому этот метод оказывается удобным и его часто применяют в задачах теории управления.

Практически важной для отыскания оригинала ренгения является еще теорема свертывания. Она гласит следующее. Если изображение представляет собой произведение

ад = Х,(р)ВД, (7.42)

то оригинал выражается фор.мулой

x(t) = J.r,(т)х2(I - x)dx, (7 43)

где X представляет собой вспомогательное время интегрирования.

В частности, пусть для некоторой системы с передаточной функцией W(j)) известна реакция на единичную и.мпу;П)Сную функцию b{t) .= 1, представляющую co6oii функцию веса и свя.занпую с W{p) преобразованием Лапласа

W{p)= jw(t)e- ck.

Если па вход этой систе.мы поступает некоторая функция времени f(t), изображение которой F(j)), то изображение выходной величины будет

X(j>) = Wip) F(p).

Тогда функция вре.мени на выходе .может быть найдена но интегралу свертывания (7.43):

xit)= jwix)fit-x)dx= jfix)wit-x)dx. (7,44)

Если входная функция определена только для положительного времени (прикладывается на вход в момент времени I = 0), то функция fit - х) отлична от пуля только ири X < t.B это.м случае Bepxinni предел интеграла в формуле (7.44) может быть за.менен на бесконечность и она приобретает вид

ft оо

xit)= jwix)fit-x)dx. (7.44)

§ 7.5. Использование вычислительных машин

За последнее время для исследования систе.м автоматического управления и, в частности, для построения переходных процессов стан! нифоко нри.мепяться вычислительные мащины непрерывного действия и цифровые вычислительные машины.

Удобство первых заключается в том, что физическому процессу, протекающему в исследуемой системе, соответствует протекание в вычислительной машине (модели) некоторого другого аналогового процесса, описываемого те.ми же диффереп-

- = Fi(-h,X2.....x ,t) (/= 1,2,...,?г), (7.45)

циальпыми у[)а1И1епиям11, что и исходный процесс. Это позволяет изучать нроиессы в систе.мах управления наиболее наглядно, так как каждый обобщенной координате в исследуемой системе соответствует некоторая переменная в вычислительной .машине, например электрическое напряжение

Моделируюпню или аналоговые вычислительные машины позволяют моделировать как всю систему в целом, так и отдельные ее части. Так, напри.мер, часто вычислительная машина используется для моделирования объекта, например самолета, корабля, паровой турбины, двигателя внутреннего сгорания и т. п., а само уп])ав-ляюпгее устройство может быть реальны.м. При сонряжении реального унравляюпюго устройства с объектом, в качестве которого выступает модель, по.чу-чается замкнутая система, которая может быть исследована еще до того, как будет построен сам объект.

Вычислительные мапнты целесообразно использовать для исследования обыкновенных линейных систем в тех случаях, когда последние описываются диф4)ерен-циальными уравнениями сравнительно высокого порядка и их аначитическое исследование становится малоэффективным. Однако наибольшее значение и.меют вычислительные машины при исследовании линейнгях систем с переменны.ми параметрами и нелинейных систем, ггоскольку для .этих случаев пока ен(е мало разработано приемлемых для практики .методов, а иногда аналитические методы вообще отсутствуют.

Точность моделирующих вычислительных машин обычно не превосходит нескольких ироцептов. В большинстве случаев этого оказывается достаточно для целей практики. Получение точности в десятые доли процента и выше связано со зна-чительрним увеличегтем стои.мости машин. В это.\г отношентн! нелесообразнее использовать цифровые вычислительные ма1нины, которые сравнительгю просто могут обеспечить высокую точность вычислений.

Следует заметить, что .моделирование пе призвано полиостью за.менить аналитические .методы исследования систем. Комплекс технических задач, связанных с проектированием, конструированием, регулировкой и настройкой систем, isecbMa сложен, и он всегда должен опираться па сознательные расчетио-теоретические методы. Моделирование же процессов иа вычислительнглх мапнншх во многом сводится к просматриванию некоторого количества возможных вариантов, разобраться в которых, а также наметить их предварительно можно при помощи существующих теоретических .методов анализа и синтеза. Наилучшим решением в настоящее время является взаимная увязка расчетпо-теорепгческих методов и методов моделирования, так как они взаи.мпо дополняют друг друга и позво.чяют наиболее полно и быстро решить задачу разработки сложной системы управления.

Электронные модели. Электронные .моделирующие вычислительные .машины имеют наибольшее применение вследствие их сравнительной простоты в изготовлении и эксплуатации. Процессы в исследуе.чгой системе изучаются при по.мощи наблюдения процессов в некоторой электронной схеме, которая описывается теми же дифференциа-чьны.ми уравиепиялгн, что и исходная система.

Пусть исследуемая реальная система описывается совоку1июстью уравнений, разреп1енцых относительно первых производных