Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Формулы для дифференцирования и интегрирования оригинала даны для случая нулевых нача-тьных .шачений.

Для ненулевых начальных значений из (7.17) .можно получить изображение но Лапласу производной оригинала (s заменено пар):

y\t)e-dt = e-mr + p\f{t)e-dt = pF{p)~m, д 2А)

где Fip) - изображение самой функции. Аналогично для BTopoii производной

i\fit)hpHp)-pm-m (7.25)

и для производной любого порядка

L[/4t)]=p Fi]:)-fJi)---f \)- (7.26)

При пулевых иачальнг>1х значениях

L\f \t)\-pFip) (7.27)

f \t)=p Fipy i7.28)

т. е. операция дифферепцироваипя оригинала заменяется для изображения умножением иа комплексную величину р.

Аналогично для нреобразовагигя Карсопа-Хевисайда

/(0.-рф(р)-/(0), (7.29)

f \t) .= pVp) -р /(0) - ... -р/ -\0). (7.30)

При нулевых начальных условиях

/( \0.= /ф(р)-

Аналогичным образо.м .можно найти изображение интеграла от функции време-

yit.)dt = Fip)+ft

(7.31)

где /q иредставляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31). при t = 0:

Для нулевых начальных значений выражение (7.31) упрощается:

fit)dt



т. е. интегрированию но времени оригинала соответствует деление на изображение на комплексную величину р.

Рассмотрим теперь испо;1ЬЗОваиие изображений для реп1ения диффе[)енциаль-ного уравнения

D{p)x{t) = N{p)f{t) (7.32)

на примере преобразования Лапласа.

Йерейдем в левой и правой частях (7.32) к изображениям Лапласа. При атом оператор дифференцирования р = d/dt в полшюмах D{p) и Nip) заменяется на комплексную величину р = с +;со, а вместо оригиналов x{t) и f{l) появляются их изображения Х{р) и Fi})). В результате получаем

Dip)Xip)-DQip)-Nip)Fip),

где Dip) обозначает сумму всех членов, содержапи1х ргачальные значения. Отсю/ia находится изображение искомой величины;

У(-р)-(Р)Др) + До(Р) (7.33)

Dip)

Последнее выражение требует некоторых нояснепий в связи с ра;!личнымп воз-можиы.ми трактовками понятия начальных значений. Интегральное преобразование Лапласа (7.17), следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене s пар):

Fip) = lim ffit)e- dt. (7.34)

Это дает воз.можность введения двух несколько отличаюпшхся понятн!! преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона-Хевисайда).

1. Преобразование Лапласа по начальным значениям справа. Если в выражении (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь положительным (а > 0), то в изображении производной (7.26) следует брать начальные условия при I = +Q, т. е. для мо.мента времерщ, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий. В этом случае

L\f \t)]=fFip)-p -fiH)) - ... -/ \+0).

Для использоваиия последней 4)ормулы необходимо знание начальных значений справа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета по формула.м § 7.3. За.метим, что даже в тех случаях, когда до приложения воздействия система находилась в покое, начальные значения справа могут быть ненулевыми и полипом Dip), как правило, отличен от нуля.

Кроме того, если рассматриваемая функция вре.мени /(Г) имеет при t = О особенности типа 8-фупкции, то это обстоятельство не будет учтено в найденном изображении. Так, например, изображение самой 8-фуикции и ее производных оказывается при этом равным пулю:

оо оо

J8 it)e-P4t= j?, \t)e- dt = 0.

о +0



2. Преобразование Лапласа по начальным значениям слева. Если в формуле (7.34) [щжпий предел интегрирования стремится к пулю, оставаясь отрицательным (а < 0), то в выражении для изображения производной (7.26) следует брать начальные значения при /, = -О, т. е. для момента времени, который будет неиосредствецпо предшествовать мо.менгу приложения воздействия. Такие начальные значения называются также предначальными.

В этом случае

L\f \t.)] = р /-(р) -р -7(-о) -... -/ - (-0).

Расчет получается более простым, так как цредпачальные значения должны быть известны всегда и никаких дополнительных операций здесь не требуется. В частцо.м случае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, пре.чначаль-ные значения пулевые и выражение (7.33) приобретает вид

х(р) = Пр) - Щ Р)Нр). (7.35)

Только это выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточной функции W{])) как отиошепие изображений входной и выходной величии при нулевых пpeдиaчaJTЬныx значениях.

Кро.ме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательпы.м (д < 0), позволяет учитывать наличие в рассматриваемой функции при t = О особенностей типа 8-функции. Так, например, изображение единичной 8-функциц оказывается равным единице:

J8(0e VA =1,

а изображение ее производной и-го порядка

)e-dl = v .

Влияние особенностей f{t) и ее первых т производных, где т - порядок полино.ма Ы(р), на изображение N(p)f(i) в этом случае и проявляется в виде автоматического учета начальных значений, которые будут иметь место справа (при t +0) в самом изображении N(p) F(jj) без введения дополнительного члена Од(р) при пулевых пред-начальных значениях или без его из.мепе1Н1я при ненулевых преднача;ид1ых значениях. В связи с этим 8-фу1п<ция иногда называется также функцией иачтьиых значений.

В дальнейшем изложении под преобразованием Лапласа будет }и)ииматься именно этот случай {а < 0).

Зная и,зобрпжепие искомой величины Х{р) в виде (7.33) или (7.35), можно найти оригинал л,-(с). Это и будет решением исходного дифференциа;и,иого уравнения (7.32).

Для отыс:ка1Шя оригиналал-(С) но его изображению Х(р) можно пользоваться таблицами изображений и сун1ествующи.ми теоремами, в частности теоремой раз.поже-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248