Формулы для дифференцирования и интегрирования оригинала даны для случая нулевых нача-тьных .шачений.

Для ненулевых начальных значений из (7.17) .можно получить изображение но Лапласу производной оригинала (s заменено пар):

y\t)e-dt = e-mr + p\f{t)e-dt = pF{p)~m, д 2А)

где Fip) - изображение самой функции. Аналогично для BTopoii производной

i\fit)hpHp)-pm-m (7.25)

и для производной любого порядка

L[/4t)]=p Fi]:)-fJi)---f \)- (7.26)

При пулевых иачальнг>1х значениях

L\f \t)\-pFip) (7.27)

f \t)=p Fipy i7.28)

т. е. операция дифферепцироваипя оригинала заменяется для изображения умножением иа комплексную величину р.

Аналогично для нреобразовагигя Карсопа-Хевисайда

/(0.-рф(р)-/(0), (7.29)

f \t) .= pVp) -р /(0) - ... -р/ -\0). (7.30)

При нулевых начальных условиях

/( \0.= /ф(р)-

Аналогичным образо.м .можно найти изображение интеграла от функции време-

yit.)dt = Fip)+ft

(7.31)

где /q иредставляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31). при t = 0:

Для нулевых начальных значений выражение (7.31) упрощается:

fit)dt

т. е. интегрированию но времени оригинала соответствует деление на изображение на комплексную величину р.

Рассмотрим теперь испо;1ЬЗОваиие изображений для реп1ения диффе[)енциаль-ного уравнения

D{p)x{t) = N{p)f{t) (7.32)

на примере преобразования Лапласа.

Йерейдем в левой и правой частях (7.32) к изображениям Лапласа. При атом оператор дифференцирования р = d/dt в полшюмах D{p) и Nip) заменяется на комплексную величину р = с +;со, а вместо оригиналов x{t) и f{l) появляются их изображения Х{р) и Fi})). В результате получаем

Dip)Xip)-DQip)-Nip)Fip),

где Dip) обозначает сумму всех членов, содержапи1х ргачальные значения. Отсю/ia находится изображение искомой величины;

У(-р)-(Р)Др) + До(Р) (7.33)

Dip)

Последнее выражение требует некоторых нояснепий в связи с ра;!личнымп воз-можиы.ми трактовками понятия начальных значений. Интегральное преобразование Лапласа (7.17), следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене s пар):

Fip) = lim ffit)e- dt. (7.34)

Это дает воз.можность введения двух несколько отличаюпшхся понятн!! преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона-Хевисайда).

1. Преобразование Лапласа по начальным значениям справа. Если в выражении (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь положительным (а > 0), то в изображении производной (7.26) следует брать начальные условия при I = +Q, т. е. для мо.мента времерщ, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий. В этом случае

L\f \t)]=fFip)-p -fiH)) - ... -/ \+0).

Для использоваиия последней 4)ормулы необходимо знание начальных значений справа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета по формула.м § 7.3. За.метим, что даже в тех случаях, когда до приложения воздействия система находилась в покое, начальные значения справа могут быть ненулевыми и полипом Dip), как правило, отличен от нуля.

Кроме того, если рассматриваемая функция вре.мени /(Г) имеет при t = О особенности типа 8-фупкции, то это обстоятельство не будет учтено в найденном изображении. Так, например, изображение самой 8-фуикции и ее производных оказывается при этом равным пулю:

оо оо

J8 it)e-P4t= j?, \t)e- dt = 0.

о +0

2. Преобразование Лапласа по начальным значениям слева. Если в формуле (7.34) [щжпий предел интегрирования стремится к пулю, оставаясь отрицательным (а < 0), то в выражении для изображения производной (7.26) следует брать начальные значения при /, = -О, т. е. для момента времени, который будет неиосредствецпо предшествовать мо.менгу приложения воздействия. Такие начальные значения называются также предначальными.

В этом случае

L\f \t.)] = р /-(р) -р -7(-о) -... -/ - (-0).

Расчет получается более простым, так как цредпачальные значения должны быть известны всегда и никаких дополнительных операций здесь не требуется. В частцо.м случае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, пре.чначаль-ные значения пулевые и выражение (7.33) приобретает вид

х(р) = Пр) - Щ Р)Нр). (7.35)

Только это выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточной функции W{])) как отиошепие изображений входной и выходной величии при нулевых пpeдиaчaJTЬныx значениях.

Кро.ме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательпы.м (д < 0), позволяет учитывать наличие в рассматриваемой функции при t = О особенностей типа 8-функции. Так, например, изображение единичной 8-функциц оказывается равным единице:

J8(0e VA =1,

а изображение ее производной и-го порядка

)e-dl = v .

Влияние особенностей f{t) и ее первых т производных, где т - порядок полино.ма Ы(р), на изображение N(p)f(i) в этом случае и проявляется в виде автоматического учета начальных значений, которые будут иметь место справа (при t +0) в самом изображении N(p) F(jj) без введения дополнительного члена Од(р) при пулевых пред-начальных значениях или без его из.мепе1Н1я при ненулевых преднача;ид1ых значениях. В связи с этим 8-фу1п<ция иногда называется также функцией иачтьиых значений.

В дальнейшем изложении под преобразованием Лапласа будет }и)ииматься именно этот случай {а < 0).

Зная и,зобрпжепие искомой величины Х{р) в виде (7.33) или (7.35), можно найти оригинал л,-(с). Это и будет решением исходного дифференциа;и,иого уравнения (7.32).

Для отыс:ка1Шя оригиналал-(С) но его изображению Х(р) можно пользоваться таблицами изображений и сун1ествующи.ми теоремами, в частности теоремой раз.поже-