/(0 = 7fo-(oKV(o. (7 16)

в отличие от разложения в ряд Фурье здесь получается разложение в непрерывный спектр частот с интервалом по частоте между соседни.ми гармопика.чш, равным бесконечно малой величине (7а).

Недостатком интеграла Фурье является то, что он принадлежит к числу несобственных интегралов и может применяться для гак называемых абсолютно интегрируемых фупкцш1 времени, т. е. для функций времени, удовлетворяющих неравенству

\\m\ck

От этого недостатка свободно преобразование Лапласа, связывающее оригинал и изображение следующими интегральными уравнениями:

F(s)= jme- dt, (7.17) о

/(0 = j F{s)eds, (7.18)

причем ({)ункция времени должна быть равна нулю (f(t) = 0) при t <0.

в отличие от преобразования Фурье здесь и.зображецие функции времени является функцией не частоты, а некоторой ко.мплексной величины s = с Вещественная часть ее представляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходи.мости, которая выбирается так, чтобы удовлетворялось неравенство

]!/(0е- dt<oa

Таким образом, периодическая функция времени может быть представлена в виде совокупности дискретных гармоник с интервалом но частоте между соседними гармониками, равным основной частоте ш.

Непериодическая функция времени может рассматриваться как периодическая с периодом, стремящимся к бесконечности. В этом случае вместо приведенных (f)op-мул получаются два интегра.тьных уравнения Фурье, связывающих оригинал, т. е. функцию времени f{t) и ее частотное изображение Ош)> которое называется также преобразованием Фурье:

FU)- Ime-dt, (7 15)

Для большинства функций, с которыми приходится иметь дело в управлении, абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, т. е. с = 0. Поэтому для этих функций преобра,эовапие Лапласа переходит в преобразование Фурье, если произвести подстановку ,s =]ш.

Уравпепия (7.17) и (7.18) часто .записывают в сокращенном виде;

F(s) = L [/(О], fit.) = L-iFis)]. (7.19)

Иногда вместо буквы .s применяется буква р, г. е. изображение Лапласа записывается в виде Fip), по в этом случаер представляет собой не оператор дифференцирования, а комплексную величину; р = с + jw.

В связи с этим формулы (7.19) и (7.20) могут быть записаны в виде

Fip)-L[fit)] fit) = L\Fip)]. (7.20)

В некоторых случаях, особетю в задачах электротехники, используется иреоб-разованпе Карсопа-Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласа дополните. 1ьиым у.миожение.м на велнчи1гу р:

ip) = p\fit)e dt., (7.21)

/(0 = 4- 1 Р- (7-22)

Таким образо.м, между иреобразования.\ш Лапласа и Карсона-Хевисайда cynie-ствует соотношение

(?ip)-pFip). (7.2,3)

Преобразование Карсона-Хевисайда нашло распространение наряду с преобразованием Лапласа. Это объясняется тем, что исторически первы.м для решения дифференциальных уравнений был использован так называемый онераторньн! метод Хевисайда, который, по сути дела, исполь.зовал преобра.зовапия (7.21) и (7.22).

Кроме того, удобство преобразования Карсона-Хевисайда заключается в том, что изображение постоянной величины Л, точнее, ступенчатой функции А 1(C), равно самой постоянной величине, что легко доказывается использованием выражения (7.21). Поэтому во многих случаях преобразование Карсона-Хевисайда сливается с оператор1Н)й записью дифференциальных уравнений.

Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсона-Хевисайда заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала за.меняются алгебраическими де11ствиями но отношению к изображепия.м.

В табл. 7.2 приведены основные формулы и свойства и;юбраже1Н1Й Лапласа и Карсона-Хевисайда. Изображение Оурье может быть получено из изображения Лапласа подстановкой р =]ы.

в дальнейшем изложении при использовании изображения функции вре.мени комплексная величина будет обозначаться буквой р. Однако при этом необходи.мо не путать эту величину с оператором диффе-рснгшрования p-d/dt, который црименкется при иснользонаиин функции времени (оригиналов).

176 Непрерывные линейные системы автоматического управления Таблица 7.2. Преобразования Лапласа и Карсона-Хевисайда

Теорема смещения в комп-;1екс11ой плоскости

Правило дифференцирования при нуленых начальных значениях

Правило интегрирования при нулеиых начальных значениях

Теорема о конечном значении

Теорема о нача7п.ном значении

Единичная импульсная функция

Ндипичпая ступенчатая функция

Иеедипичпая ступенчатая функция

Степенная функция Экспонента Смсн1е11ная экспонента

Синусоида Косинусоида Затухающая синусоида Затухающая косинусоида

7( ) /(0) 5(0 1(£)

Л. 1(0

t 1(0 .-.1(0

i(i e-oi(0

sin Xt- 1(0

соь-л.г1(0 e-sin £-1(0 e cosA.£- 1(0

Изображение Лапласа

AF(p) a

e-Tip) F{p ь X)

P F(P)

]\mpF(p)

p ->0

lim pF(p)

P n]

p + a 1

p(p+a) X

p + X

p+X X

P + Y

{p+yf+x

Изображение Карсона-Хевисайда

Лф(о

4>\(j)) + 4>2<J>)

(p Ф -

p + X

p\(p) ф(р)

liin ф(р)

p->0

lim ф(р)

p + a 1

p + a

P p + X

p + -X

(p + yf+X

pip+y)

ip + yf+X