Для остальных начальных значений выполняются соотношения

(n-m-l) (n-m+1) , t*! 1 Г (и m) (n-m)

(H-ffl+2) (n-m+2) /2 1 2

(H-m) ..(п-т)

лп-т) (п-т)

а, г

( -2) x< *

(7.12)

Эти формулы показывают; что только при т = О, т. е. для дифференциального уравнения D(p)x{t) = bf{t) при скачке f{t), начальные значения при /, = + О соответствуют начальным значениям при t= -О.В ([юрмулах (7.12) множитель 1 и.меет ра;-.мерност ь величины f(t). Если воздействие прикладывается в виде скачка, не равно1Ч) единице, то вместо 1 следует поставить величину скачка.

Г1 р и м е р. Найдем реакцию системы на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных значениях, т. е. переходную функцию, если дифференциальное уравнение имеет вид

(0,05/ + ОЛр + i)x(t) = (0,5р + 1) /(0.

Для простоты примем, что пере.менная .г-является безраз.мериой величиной. Ре-1пая характеристическое уравнение 0,05/; + 0,4р +1 = 0, находим корни:

Р1.2=-7±Д = -4±;2.

Согласно заданны.м условня.м .г о = О и x q =0. Так как в данном случае и = 2 и т = 1, то начальные значения для f = +0 в соответствии с (7.11) и (7.12), будут

х,о = х.о = 0, х:о=х:о+.1 = 0 + -; = 10 с-. Определяем установившееся значение искомой координаты:

v -l = l.

Введем новую переменную z(t) = x(t) - 1. Начальные значения для новой нере.менной:

2,о = л-,о-Ху =0 - 1 = -1; 2,0 = xq = W с~\

На основании табл. 7.1 для п = 2 и случая ко.мплексиых корней имеем

2 = {В cos Xt+Csm Xt)e \

-4 + 10 2

Х\о -л-о

=X Q,

.(п-т-2) (п-т-2)

(7.13)

и вместо (7.12) для всех остальных начальных значений

4-1, о

(ff-m-l) (n-m-i)

-*+0 -0

(n-m+i) (п-т[) h . 2

(н-m-i) ( -m-l)

(п-га-1) ,.( -m-l)

(7.14)

В формулах (7.14) единица имеет размерность и.миульса ве;и1чипы/(0. т. е. раз.мерпость /(О, умноженную на вре.мя. Если воздействие тюступает в виде иеединич-иого и.мпульса, то в эти фор.мулы в.место единицы необходн.мо подставить заданную величину импульса.

Как видно из (7.14), при воздействии в виде и.мпульса, в отличие от скачка, даже для диф()ерепциального уравнения вида D(p) x(t) = bj(t), не будет равенства начальных значений для t == +0 и /, = -О, так как будет скачок в значении (п - 1 )-й производной. Скачок же первой производной х, т. е. перелом кривой, будет уже при те = п - 2, а скачок са.мой величины х - при т = п - 1.

Таким образом

2=(- cos 2t. + 3suV2c)e~.

Возврап1аясь к исходной координате, получаем переходную функцию h(t) = х(0 = 1 + z(t.) = 1 - (cos - 3 shi 2t)e-.

AHajioni4HbiM образом можно осуществить переход от неоднородного дифференциального уравнения (7.4) к уравнению без правой части при воздействии типа импульсной функции, в этом случае установившееся значение Ху = О, так как в случае /(t) = 5(0 при i -> °° будет/( =) = 0. Поэтому пет нужды вводить новую смещенную величину 2(0 и задача.заключается только в отыскании начальных значений при- = +0.

Так как едгшичная имну.тьсиая 4уикция является производной от единичного скачка 8(0 = 1() фор.мулы пересчета начальных зпачетш можно получить из (7.11) и (7.12), если заменить в них т на m + 1 и положить й , = 0. Тогда вместо (7.11) для первых п ~ т ~ 2 начальных значений получим

П р и м е р. Найдем реакцию системы иа единичный имиульс при пулевых начальных З1гачеииях, т. е. функцию веса для дифференциального у1)аниепия, приведенного в иредыдуп1ем примере.

Так как в рассматриваемом примере m = н - 1, то в соответствии с (7.14) получим

х,о=х,о+.1 = 0 + - = 10с-, о 0,05

xln = х\ +--1 -Гг -х п1 = 0+- 1 -10 = -60cl

t4.() - .l 0

1 О -

0,05 0,05

В соответствии с табл. 7.1 для и = 2 и комплексных корней

4-10-60

Окончательно получаем функцию веса

дх,о = 10с--, с- -- =±Bz=-mc-.

w(t) = x{t) = 10 (cos 2t - sin 2t)e . Этот результат можно было получить также непосредственным путем для h(l), полученного в предыдущем примере, так как w(t) = h{l).

§ 7.4. Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона-Хевисайда

Как известно, периодическая функция времени, подчиняющаяся условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:

f{t) = A + Y{A sin k<S)t + coskiiit),

где k - порядок гармоники, a ш = 2л/Г - основная круговая частота. Этот ряд может быть представлен также в комплексной форме:

где комплексный коэффициент Cf, определяется выражением