Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

§ 7.2. Непосредственное решение исходного дифференциального уравнения

Пусть система автоматического управления описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью

( оР + ,Р + - - + ) -40 (V + + - + bjfit). (7.4)

Для отыскания полного решения этого уравнения необходн.мо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью л (0 и определить корни характеристического уравнения

floP + fl,p + ,., + ,p + fl = 0. Как указывалось вьнпе, полное решение будет иметь вид

x{t) =.г (О + Се +С2е - +:.. + CУ. (7.5)

Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования С С . Для этой цели используются пач;иП)Ные значения: при l = О х(0) = Хд,

х(0) = xq, х \0) = х \ Начальные значения накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциатьиого уравнения (7.4). Дифференцируя уравнение (7.5) по времени п - 1 раз и используя начальные значения, получают п алгебраических уравнений, куда входят п неизвестных постоянных ип-тегрировапия, Сов.местное решение этих уравнений дает воз.можность определить искомые постоянные интегрирования С С .

Операции вычисления корней и совместного решения ajTro6paH4ecKHX уравнений являются трудое.мки.ми. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано доволыю быстро при по.мощи стандартных программ для цифровых вычислительных .машин. В связи с этим использование этого метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно не выше третьего.

Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна нулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение. Тогда частное ре-HJOHHc равно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид:

x{t) = С,е +С2еИ +... + СУ . (7.6)

В этом случае переходный процесс определяется только видо.м корней и началь-пы.ми зпачепия.ми. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы для получающегося переходного процесса при ра;!личпых степенях дифференциального уравнения п (от 1 до 3) и корнях различного вида. В таблице приняты следующие обозначения:

а ttj, аз - абсолютные значения вещественных некратных корней; у и Я - абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; Xq - начальное значегне исследуемой координаты; xq - начальное значение скорости изменения исследуемой координаты; Xq - начальное значение ускорения.



Таблица 7.1

Вещественные корни

Ко.милсксные корни

X = Хпв

аз-а,

x = (JSco.s}u- + CsinXf)e

В = Хо

х = А,е +Ае +Луе А

2 зо+(о2+аз)л.-о+4 (а2-а,)(аз-а,)

Р1 з-то+( 1+аз)4+До (а,-а2)(аз-а2)

(а,-азХаз-аз)

(f+X)Xa+2yXo+xf;

да(а1-27).Уо+2уго-х (Y-a,)42

а;(А.-уЧ7та))Хо MCY-a,)]

(a-Y+A.K+(ai-YK Y[(Y-a,)+Y]

§ 7.3. Сведение неоднородного уравнения к однородному

Для типового входного воздействия вида единичной ступенчатой функции решение нсодноролного уравнения (7.4) может быть сведено к решению уравнения без правой части перехоло.м к другой нере.менной. Примем, что f(t) = 1(0, причем единица имеет размерность переменной, стоящей в правой части (7.4). Тогда установившееся значение переменной х при t °° можно найти из (7.4), положив все производные равпы.ми нулю:

xM=x , = bJa -l. (7.7)

Это установившееся значение представляет собой частное или вынужденное решение нсодноролного уравнения (7.4), т. е. ж (0 =



а- + а . -h.., + a 2 = 0. (7.10)

Из уравиепия (7.8) 1гетрудно определить связь между начальными значениями для исходной переменной х и новой переменной z при t = Q:

? = л- V . ? - г ,( !)

zq xq Ху., zq-xq, Zq -Xq

После нахождения решения для перемепиоГ! z по фор.муле (7.8) .можно легко вернуться к исходной переменной х смешением решения на величину Ху,.,.,

Однако эти рассуждения пока справедливы для случая, когда степень операторного многочлена в правой части (7.4) равна нулю {т = 0) и дифференциальное уравнение (7,4) имеет вид

D{p)x{t)-bJ{l).

Это происходит потому, что, вообн1е говоря, необходимо различать начальные значения, которые сушестповал и в системе до приложения возмушепия, т. е. при времени t = -О, и непосредстпенно сразу после его приложения, т. е. при времени t=+Q. Остановимся па этом воп]юсе более подробно в случае приложения возмуп1ения типа ступенчатой функции.

Для простоты расчетов для времени t = -О почти всегда припи.мают пу.чевые начальные значения, т. е. .r q = О, xq = О, xq =0 н т, д, В дальнейшем под пулевыми начальнь1чи значениями будем понимать именно эти равенства.

Начальные значения, которые будут иметь место непосредственно после приложения ступенчатой функции, т. е. при = + О (обозначим их х.д О, х\ =0, х+о =0 и т. д.), можно определить из исходного дифференциального уравнения (7,4). Не останавливаясь па доказательстве, Н1)иведем конечные результаты. Для первых п - т начатьных значении имеют место равенства

х =Х о,

(П-/Я-1) (я-т-1)

(7.11)

Таким образом, для самой координаты и первых (п - т - 1) производных пулевые начальные значения сохраняются и после приложения ступенчатой функции.

Введем новую переменную

2(0=л-(0-х (0=л-(0-у<:т- (7.8)

Решение пеодпородпого уравнения (7,4) для z(t) .может быть записано в виде

z{t) = х(0 - х, = Се + С.е +... + С У , (7.9)

что подобно решению тина (7.6), Этому решению соответствует исходное дифференциальное уравнение без правой части

с1 2

dt dtS -



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248