§ 7.2. Непосредственное решение исходного дифференциального уравнения

Пусть система автоматического управления описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью

( оР + ,Р + - - + ) -40 (V + + - + bjfit). (7.4)

Для отыскания полного решения этого уравнения необходн.мо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью л (0 и определить корни характеристического уравнения

floP + fl,p + ,., + ,p + fl = 0. Как указывалось вьнпе, полное решение будет иметь вид

x{t) =.г (О + Се +С2е - +:.. + CУ. (7.5)

Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования С С . Для этой цели используются пач;иП)Ные значения: при l = О х(0) = Хд,

х(0) = xq, х \0) = х \ Начальные значения накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциатьиого уравнения (7.4). Дифференцируя уравнение (7.5) по времени п - 1 раз и используя начальные значения, получают п алгебраических уравнений, куда входят п неизвестных постоянных ип-тегрировапия, Сов.местное решение этих уравнений дает воз.можность определить искомые постоянные интегрирования С С .

Операции вычисления корней и совместного решения ajTro6paH4ecKHX уравнений являются трудое.мки.ми. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано доволыю быстро при по.мощи стандартных программ для цифровых вычислительных .машин. В связи с этим использование этого метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно не выше третьего.

Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна нулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение. Тогда частное ре-HJOHHc равно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид:

x{t) = С,е +С2еИ +... + СУ . (7.6)

В этом случае переходный процесс определяется только видо.м корней и началь-пы.ми зпачепия.ми. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы для получающегося переходного процесса при ра;!личпых степенях дифференциального уравнения п (от 1 до 3) и корнях различного вида. В таблице приняты следующие обозначения:

а ttj, аз - абсолютные значения вещественных некратных корней; у и Я - абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; Xq - начальное значегне исследуемой координаты; xq - начальное значение скорости изменения исследуемой координаты; Xq - начальное значение ускорения.

Таблица 7.1

Вещественные корни

Ко.милсксные корни

X = Хпв

аз-а,

x = (JSco.s}u- + CsinXf)e

В = Хо

х = А,е +Ае +Луе А

2 зо+(о2+аз)л.-о+4 (а2-а,)(аз-а,)

Р1 з-то+( 1+аз)4+До (а,-а2)(аз-а2)

(а,-азХаз-аз)

(f+X)Xa+2yXo+xf;

да(а1-27).Уо+2уго-х (Y-a,)42

а;(А.-уЧ7та))Хо MCY-a,)]

(a-Y+A.K+(ai-YK Y[(Y-a,)+Y]

§ 7.3. Сведение неоднородного уравнения к однородному

Для типового входного воздействия вида единичной ступенчатой функции решение нсодноролного уравнения (7.4) может быть сведено к решению уравнения без правой части перехоло.м к другой нере.менной. Примем, что f(t) = 1(0, причем единица имеет размерность переменной, стоящей в правой части (7.4). Тогда установившееся значение переменной х при t °° можно найти из (7.4), положив все производные равпы.ми нулю:

xM=x , = bJa -l. (7.7)

Это установившееся значение представляет собой частное или вынужденное решение нсодноролного уравнения (7.4), т. е. ж (0 =

а- + а . -h.., + a 2 = 0. (7.10)

Из уравиепия (7.8) 1гетрудно определить связь между начальными значениями для исходной переменной х и новой переменной z при t = Q:

? = л- V . ? - г ,( !)

zq xq Ху., zq-xq, Zq -Xq

После нахождения решения для перемепиоГ! z по фор.муле (7.8) .можно легко вернуться к исходной переменной х смешением решения на величину Ху,.,.,

Однако эти рассуждения пока справедливы для случая, когда степень операторного многочлена в правой части (7.4) равна нулю {т = 0) и дифференциальное уравнение (7,4) имеет вид

D{p)x{t)-bJ{l).

Это происходит потому, что, вообн1е говоря, необходимо различать начальные значения, которые сушестповал и в системе до приложения возмушепия, т. е. при времени t = -О, и непосредстпенно сразу после его приложения, т. е. при времени t=+Q. Остановимся па этом воп]юсе более подробно в случае приложения возмуп1ения типа ступенчатой функции.

Для простоты расчетов для времени t = -О почти всегда припи.мают пу.чевые начальные значения, т. е. .r q = О, xq = О, xq =0 н т, д, В дальнейшем под пулевыми начальнь1чи значениями будем понимать именно эти равенства.

Начальные значения, которые будут иметь место непосредственно после приложения ступенчатой функции, т. е. при = + О (обозначим их х.д О, х\ =0, х+о =0 и т. д.), можно определить из исходного дифференциального уравнения (7,4). Не останавливаясь па доказательстве, Н1)иведем конечные результаты. Для первых п - т начатьных значении имеют место равенства

х =Х о,

(П-/Я-1) (я-т-1)

(7.11)

Таким образом, для самой координаты и первых (п - т - 1) производных пулевые начальные значения сохраняются и после приложения ступенчатой функции.

Введем новую переменную

2(0=л-(0-х (0=л-(0-у<:т- (7.8)

Решение пеодпородпого уравнения (7,4) для z(t) .может быть записано в виде

z{t) = х(0 - х, = Се + С.е +... + С У , (7.9)

что подобно решению тина (7.6), Этому решению соответствует исходное дифференциальное уравнение без правой части

с1 2

dt dtS -