Таким образом, а. ф. х. разомкнутой системы при г = 1 (см. рис. 6.13, а) допол-пится по часовой стрелке четвертью окружности с радиусом /? оо, начало которой находится на вещественной оси, и разрыв непрерывности будет устранен. Кро.ме того, так как нулевой корень заменен вещественным отрицательным корнем, то разомкнутую систему можно считать устойчивой. Все это означает, что для исследования устойчивости за.мкнутой системы можно при.менять приведенную выше фор.мули-ровку критерия Найквиста.

При наличии двух [гулевых корней (г = 2) на частоте ш = О .модуль частотной передаточной функции (6.23) /4(0) = оо, а фаза vi(0) = ~п. Апалогичтями рассуждениями можно показать, что в этом случае а. ф. х. разомкнутой системы следует дополнить по часовой стрелке полуокружностью с радиусом R~>oo (рис. 6.13, б).

В общем случае при любом ? дополнение производится на угол

Зна.меиатель передаточной функции разомкнутой системы (6.22) .может иметь и чисто .мнимые корни. Пусть, например, г= О, но имеется пара мнимых корней, что соответствует наличию в полиноме С{р) сомножителя ifp +1. В этом случае (см.

табл. 6.1) на частоте моду.ть W(joi) равен бесконечности, а фаза скачком изме-

няется на -п. Для устранения неопределенности .можно, как и в предыдупи1Х случаях, отнести мнимые корни к левой полуплоскости, заменив указанный вьппе со.\ню-житель на Тр + И/Трл-1, где 2 - бесконечно ,\1алая положительная величина. Тогда разрыв устранится за счет дополнения а. ф. х. полуокружностью бесконечно большого радиуса по часовой стрелке так, как показано на рис. 6.14.

В случае рис. 6.14, а замкнутая система устойчива, если A{Q.) < 1, так как при этом условии а. ф. х. разомкнутой систе.мы не охватывает точку (-1; jO), и неустойчива, если A(Q.) > 1. В случае рис. 6.14, б.замкнутая система неустойчива.

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим следящую систему, структурная схема которой изображена на рис. 6.4. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой систе.\н>1

W(p) =

p{UTyP){\ + W

Модуль частотной передаточной функнии разомкнутой системы (см. табл. 6.1)

Л(ш)= IV(ico) =

(o7(i+7;y)(i+?;V)

и фаза

¥(ю) = -- - arctgwr, - arctgo)/ = -- - arclg . 2 2 l-co Г Г,

ун 71

При со = о MoiiyjH) Л(0) = °о, а с1эаза V(0) = ~- По мере увеличения со фаза изме-

ияется от до -~ ири ш = °°. Это означает, что а. ф. х. разомкнутой систе.мы располагается в третьем и втором квадратах комплексной п.юскости. Модуль с увеличением со уменьшается и ири со = оо становится равпы.м нулю. Таки.м образо.м, с учетом дополнения четвертью окружности и радиусом /? оо а. ф. х. выглядит так, как показано па рис. 6.13, а.

Частоту q, па которой фаза v/(q) = -л, найдем из условия

arctg--= -,

откуда

Подставив это значение в выражение для модуля, получим:

КТ,Т A(Q.) = -

Замкнутая систе.ма устойчива, если (Q) < 1. Таки.м образом, условие устойчивости замкггутой системы

Ту 7,

совпадает с найденны.м ранее условием, вытекающим из критерия Гурвица.

Обратимся теперь к более обп1ему случаю, когда зна.менатель передаточной функции разомкнутой системы содержит корпи, лежащие в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в ра;к)Мкнутом состояггии системе.

Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться дву.мя при-чипа.ми. Во-первых, это .может быть следствием на/тчня неустойчивых звеньев, подобных рассмотренным в § 4.8, п том числе и неустойчивости самого управляемого

vi/ = vi,-v2= -

2 2

= /.71,

т. е. а.чн1литудпо-фазовая характеристика должгга охватить точку (-1,;0) столько раз, сколько корней в правой нолун;1оскости содержит зна.мепатель передаточной функции ра.зомкпутой системы. Иными словами, в самом оби1ем случае для устойчивости за.мкнутой системы необходн.мо н достаточгю, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой систе.мы при измепепии частоты от О до °о охватывала точку {-Л,)0) па угол In против часовой стрелки. Приведенная ранее формулировка критерия Найквиста для случая, когда / = О, вытекает отсюда как частный случай.

Таким образом, при использовании критерия Найквиста необходимо проверить, и.меются ли в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы корпи, лежащие в правой полуплоскости, и сколько и.меется таких корней.

Если в систе.ме и.меются .местные обратные связи, па1гример, такого тина, как это изображено на рис. 5.6, то необходимо убедиться в том, что по цепи местной обратной связи пе napynieiia устойчивость при разо.мк1гутой главной обратной связи. Проверка устойчивости но цени местгюй обратной связи .может быть сделана носредство.м нсиользования любых критериев устойчивости, в том числе и посредством критерия Найквиста, который может при.мсияться для разомкнутой местной обратной связи обычным путем ностроегнгя для этой цели амплитудно-фазовой характеристики.

В случае, если для .местной обратной связи будет иолучеио указаггие на ее неустойчивость, необходимо определить число корней, лежаищх в правой полуплоскости.

Следует за.метить, что, хотя теоретически вся система в за.мкпутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости но цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Поэтому, как правило, при {)асчете системы выбирают такие местные обрат1Нэ1е свя.зи, которые были бы устойчивыми при разо.мкнутой главной обратной связи.

В качестве примера рассмотрим систему угловой стабилизации ракеты, структурная схема которой изображена на рис. 6.5. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы

объекта. Во-вторы.х, это можетбыть следствием потери устойчивости звеньев, охва-4eiuU)ix положительными или отрицательными обратными связя.ми (см., например, рис. 5Л).

Наличие неустойчивости систе.мы в разо.мкнутом состоянии не означает, что система будет неустойчивой в замкнутом состоящн-!. Она может быть как устойчивой, так и неустойчивой. Однако фор.мушровка критерия устойчивости Найквиста при это.м несколько меняется. Пусть знаменатель передаточной функции разо.мкнутой системы (6.22) содержит / корней в правой полуплоскости ип - I корней - в левой. Тогда при изменении частоты от О до °о для устойчивости в замкнутом состоя1И1И системы 1)езультирую1ций угол поворота годографа вектора Wijui) отггосительно точки (-l,jO) должен составить