тей устойчивости в плоскости двух па])аметров. Для постросчтия таких областей iit плоскости двух параметров Ли В необходимо нанести линии, соответствуюпи1е границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линия.ми, будет представлять собой область устойчивости. /1ля того чтобы окончательно убедиться в это.м необходи.мо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либс критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет имет! .место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.

Для построения границ области устойчивости используются все Т1)и признака существующих Tnnoii Г])аницы устойчивости. Для границы устойчивости нервогс типа это будет равенство а = 0. Для границы устойчивости третьего типа ~ равенство о °° О-

Для получения условия, соответствую1цего 1раиице устойчивости вто[)ого тин;; (колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости.

Для систем, описываемых уравнением не вьптге четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В .этом случае колебательной границе устоГщивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: A j = 0.

Для уравпепий высокого порядка условия, соответствующие колебательной i-])a-нице устойчивости, могут быть получеп1>[ следуюни-гм образом.

Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (6.9), которая представляет собой характеристический полипом замкнутой системы:

Если система находится иа колебательной границе устойчивости, то, как бы.к: показано вьпне, Д1!а корня этого полипома попадают на ось мнимых: р, j = ±7М, где ю - угловая .частота колебашп!, соответствуюгцая чисто мнимому корню. Тогда характеристический комплекс

D(jw) = 1 -i- W(jw) = Х(ю) + ;Т(ю) = 0. (6.16)

Предположим, что два рассматриваемых пара.метра системы управлешш А п В входят линейно в характеристический комплекс. Тогда для гра1гицы устойчивости колебательного типа уравнение D(j(a, А, В) = О распадается па два уравнения:

Х(ю,Л,В) = 0;1 (gl7)

У(ю,Л, В) = 0.]

Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости ири соблюдении донолгпгтелыюго условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полггая же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определен 1и>1м распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение и.меет л[Ш1Ь часть кривых D-])aзбиeиия, соответствующая границе устойчивости.

Для упрощения выделения г])аниц области устойчивости из всего ко.мплекса кривых D-разбиения па плоскости двух пара.метров вводится штриховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет п])Иведено без доказательства. Перемеща-

ясь вдоль кривой в сторону увеличения о, надо штриховать ее с .тевой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (6.17):

ЭХ ЭХ

дА ЭК

дВ ЭК

дА дВ

(6.18)

Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении ЭТ01-0 правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр Л - по оси 01)Д1Н1ат вве1)х.

В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображена на рис. 6.4. Для этой системы было получено характеристическое уравнение

Г,Г,/ + (Гу + 7;,)/;2+р + А=0.

Предположим, что элект1)о,механичсская постояшшя вре.мени двигателя Г, является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления k и постоянной времени усилителя Гу.

Характеристический комплекс

DOm) = К +;ю - со (Гу -ь Г ) ~j(i>%T

Уравнения, определяющие границу устойчивости,

X = К - ш\Ту + Т ) = 0; К = со -со-7;.Г =0.

Решая их сов.местпо относительно параметров К и Т, получи.м

7:=-

7:,со

Г

По полученны.м данным строим кривую D-разбиения (рис. 6.6). Кривая и.меет

гиперболический вид с асимптотами К = - при со = О и 7 = О при (х)-°°.

Для нанесе1тя штриховки найде.м знак определителя (6.18). Необходимые для

этого частные производные будут при А = Кн В = 7:

эк эк

= 1;

= 0;

ЭХ 2

an- -

Определитель получается равным

1 -ш

О -ю-Г,

Область устойчивости

При- изменении частоты в пределах от О до °° определитель будет отрицательным. Поэтому ири движении по полученной кривой сверху вниз (от О до о°) необходимо штриховать область, лсжап1у1о справа от кривой.

Область устойчивости практически уже сформировалась. Так как нара.метры К и Ту должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей К и Ту.

Это можно показать и иа основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если прирав])ять пулю свободный член, а = О, что

дает условие К=0. Это условие выполняется на оси ординат. Граница устойчивости третьего типа получается при Cq = О, что дает условие Т = О, Это условие выполняется иа оси абсцисс.

Таки.м образо.м, область устойчивости в плоскости параметров К и 7 получена окончательно. Для любых значений К и 7 можно сразу ответить, устойчива или неустойчива система, смотря но тому, попадает или не попадает точка, определяемая этими значениями параметров, в область устойчивости.

Для системы угловой стабилизации, структурная схема которой изображена иа рис. 6.5, область устойчивости представлена на рис. 6.7.

Рис. 6.7

§ 6.4. Критерий устойчивости Найквиста

в 19,}2 году Найквист предложил принципиально новый критерий устойчивости. В отличие от критерия Гурвица, который устанавливает принадлежность корней к левой полуплоскости для любого полипома или алгебраического уравнения, критерий Найквиста предназначен для исследования устойчивости только замкнутых систем.

Критерий Найквиста - это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой (а. ф. х.) или логарифмических частотных характеристик (л. ч. х.) разомкнутой системы.

Поми.мо исследования устойчивости по виду указаштых характеристик можно оценить и некоторые качественные показатели замкнутой системы, например, запас устойчивости. Более того, появляется возможность указать, как и за счет каких средств неустойчивая замкнутая систе.ма может быть сделана устойчивой и как можно повысить качество устойчивой замкнутой системы.

В главе 5 было введено понятие передаточной функции разомкнутой системы. Эта функция может быть представлена в виде

С(р) Cqp +CiP

+ ... + с

(6.19)