§ 6.2. Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, ог[исываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году - полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность .математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году .математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем но просьбе словацкого профессора Стодолы, .занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

(6.11)

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются вСе коэффициенты по порядку от а, до а . Каждая строка дополняется коэффициентами с нарастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его .меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при о > О должны быть больше нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составяются по следующему правилу (см. (6.11)):

Д, =а, >0; (6.12)

Д, =

а, аз

>0;

(6.13)

а, Яз Яд

о 2 4 О 3

>0;

(6.14)

а. > 0; Д, = а, > 0; 2 =

= 1 2 -flo 3 >0-

Третий (последний) определитель Д3 дает условие > 0. Условие Д2 > О при Gq > о, a> Он а- > О .может выно;1НЯться только ирн > 0.

Следовательно, для уравнешгя Т1)етье1() порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определентюго соотношения между коэффициентами: , 2 > (os-

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в иослодпем столбце мат1)ицы все элементы, кроме [шжпего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следуюпщм образом:

A = A-i>0. (6.15)

Однако в устойчивой системе предпоследний онреде.читель тоже должен быть положителы[ЫМ. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию а > О, т. е. к ио.;10жительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия пахожде1И1Я системр>1 на rpain-me устойчивости можно получить, приравнивая нулю последни!! определитель: Д о, при положительности всех остальных ои])сделителей. Как следует из (6.15), это условие распадается па два условия: а = о и д .. 1 = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая Г1)апнца устойчивости) и второе - rpamine устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурируюнще в ooineii фо])мулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных с;[учаев критерии устойчивости для системы первого, второго, трстье10, четвертого и более высоких порядков.

1.У р а в и е и и е первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

ао>0, А,-я,>0,

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны.\[и. 2. У р а в и е п и с второго порядка

Для ;)того уравнения критерий Гурвица требует

о > 0; Д, = а, > 0.

Последний определитель, как от.меча./ось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента: > 0.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходи.хиьм и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравиення.

.3. Уравнение третьего порядка

uqP + ар + -i- 3 0. Для этого уравнения получаем условия

4. Уравнение четвертого порядка аор + fliP + a.jj) + a-j} + = О,

На основании крите)ия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, К1)Оме положительности всех коэффищюитов, требуется выполнение условия

:i( i 2- ()%)- 4 0? >0.

5. У р а в и е и и с пятого поря д к а

а. - 0.

Для уравнения пятого порядка, кро.ме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два усювия:

Как видно, уже для уравнения пято1 стеиепи условия устойчивости по критерию Гу1)вица получаются достаточно г])омо.здкими. Поэтому нсполызованне этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатко.м критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучпюм случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива систе.ма автоматического управления. При этом в случае неустойчивости систе.мы критерий не дает ответа на то, каким обра.зом надо изменить параметры CHCTexMii, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в ипжеггерной практике.

Для иллюстра1и1И применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. При1Щипиа.мьная и структурная схемы изображены на 1)ис. 6.4. В качестве чувствительного эле.ме1гга исполь-.зовапы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме, Пс])еда-точпая функция сельсинов равна ко.эффициенту передачи схемы:

.рад

где S = в[ - 2 -- опптбка, равная разности углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя: W2(P) = -,

и, \+Т,р

где 2 коэффициент усиления и Гу - постоянная времени усилителя.

Передаточная функция двигателя (Д):

f/2 р{\ + Т р)

9i h 9,

>