Д.Г2 = х., (0) - , атекзщиеотклопештя - Дг, (О = -Г, (О - .г ! (Г), Ах. (t) = Х2 (0-Х2 (t). Последние показаны на рис. 6.2 для некоторого .момента времени t = г,.

Невозмущеииое движение называется устойчивым, если при любых достаточно малых отклонениях Дх,о и ДХ20 текущие отклонения Ax,(t) н Ах2(/) при f > О остаются малыми (кривая 2).

Невозмун1енпое движение называется иеусгойчивы.м, если даже ири сколь угодно малых начальных отклонениях хотя бы одно из текупи1Х отклонений при с > О не остается малы.м (кривая 3).

В частном случае, когда в качестве певозмуи1енного движения ирини.мается состояние равновесия, траектория 1 вырождается в точку Л/, , а тскупн1.%и1 огклонеин-ями будут Лг,(0 = л-,(0-л?о. AX2(t) = X2(t)-X%.

Для систе.мы и-го порядка используется п переменных состояния Х;, соответстксн-ио, столько же начальных и текуин1х отклонений.

Определим теперь поиятие устойчивости более четко.

Невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову, если для каждого заранее заданного положительного числа е- (i = 1, 2, .... п), как бы мало оно ни бьию, можно подобрать другое положительное число Л/, зависящее от е,-, такое, что при лю -бых начальных отк.чонениях, удовлетворяющих условиям

Дг,о1<Л;- i= 1,2,...,и, (6.1)

все отклонения от невозмущенного движения при t> О удовлетворяют условиям

ДгХ01<е,-, г =1,2.....п. (6.2)

Невоз.муп1енное движение называется аси.тппотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кро.ме того,

limA.r,(O = 0, г-1,2.....п. (6.3)

Смысл условий (6.1) рассмотри.м иа примере системы второго порядка.

Условия (6.2) должны выпо.чпяться при г > О, т. е. относится и к начальным отклонениям Д-Тю, Ат2о. Если переменнаяЛ2 не входит в уравпепис для х, (и наоборот), то отклонение Д.г,(Г) завис1гг только от A.v,q, а Д.12(0 - только от Д-г-о и для определения устойчивости достаточно использовать только условия (6.2). Однако в обще.м случае (например, при нормальной форме уравнений состояния) пере.менная входит в уравнение для Xj, ах, - в уравнение для Х2. Поэтому отклонения Л-г,(0 и Axit) зависят как от Ахщ, так и от Дхо. Следовательно, возможно такое сочетание пачать-пых отклонений при j Ах,(, < е, и I AxjoJ < е, что Ax,(f) > е, или j Дх2(0 I > i- Условия (6.1), таким образом, устанавливают, что необходимо найти такое сочетание начальных отклонений и их предельных значений, ири которых условия (6.2) выполняются.

Понятие устойчивости ио Ляпунову пифоко используется при исследовании нелинейных систем (см. г;г 16 и 17). /1ля линейных систем имеет смысл, как будет показано ниже, только понятие аси.%игготической устоГпшвости.

Уравнения состояния линейной систе.мы можно представить в виде

Iit) = Mt) + bg(i) + mf(t);

у(1) = Гх(0.

x,(t)=le(-[bgix)+mf(x)]dx

представляет собой частное решение неоднород]юго уравнения (6.4) и называется вынужденной составляющей. Она характеризует то движение системы, которое ее вынуждает совершать задаюп1ее и возмущающее воздействия.

Примем в качестве невозмущенного движение (6.5) при х(0) = х :

J (О = х (О + х, (О = е х + Хз (t).

По отношению к нему движение (6.5) является возмущенным. Введем, как это уже делалось ранее, отклонения Ах =х(0)-Хо, Ах() = х(£) -х (). Заменив в (6.5) с УЧСТО.М (6.6) х(0) и x(t) отклонениями, получим:

A5(0 = eAXo+J°(0. (6.7)

Таким образом, невозмущетюе движение x(t) будет устойчивым, если устойчиво свободное движение

Ах(0 = вАхо-

Они по форме аналогичны уравнениям состояния объекта (см. гл. 5), но отличаются от последних структурой матриц, а также тем, что в них в.место управляющего воздействия u(t) входит задающее воздействие g(0. Аналогичным будет и решение этих уравношй:

x(t) = х(0) + Je- [6g(t) + т/(т)1т. о

Представим его в виде сум.мы

x(r) = J (£) + B(0- (6.5)

Первое слагаемое

J (r) = ej(0) (6.6)

представляет собой общее решение однородного уравнения

lc{t) = Ax{t)

и называется переходной составляющей. Она характеризует свободное движение системы, вызва]пюе ненулевыми начальными значениями переменных состояниях,-при отсутствии задающего g(0 и воз.мущающего f(t) воздействий. Второе слагаемое

Примем теперь в качестве иевозмущенного только вынуждепиое движение х,/?). В этом случае из (6.5) сразу следует, что оно устойчиво, если устойчиво свободное движение (6.6).

Сделаем теперь обгние для всех линейных систем (замкнутых, разомкнутых-или только управляе.мых объектов) выводы.

1. Устойчивость невозмуи1ен11ого движения не зависит от того, какое движение системы принято в качестве невозмутенного.

2. Иевоз.муп1епное движение систе.мы устойчиво, если устойчиво ее свободное движение.

3. Устойчивость нево:шуп1еииого движения не зависит от вида и характера изменения внешних (задакнцего и возмуща10пн1х) воздействий. Этот вывод базируется на двух предыдунн1х.

В дальнейшем для краткост и устойчивость певоз.мущпеного движения будем называть просто устойчивостью системы.

Для получения условий устойчивости удобнее использовать не уравнения состояния (6.4), а дифференниальпое уравнение и-го порядка (см. гл. 5). Его решение также можно представить в виде сум.мы переходпой y {t) и выпуждеп1К)й yit). С точки зрения устойчивости, как показано выше, нас интересует только переходная со-ставляюп1ая, т. е. общее реп1енне дифференциального уравнения

D(p)y{t) - (а + сцр + ... + a . j> + а )у{1) = О, (6.8)

где р - оператор дифференцирования, а D{p) - характеристический полином замкнутой системы. Для разомкнутой систе.мы (см. гл. 5) ха])актеристическим полиномом будет С(р), а для объекта - С(р).

Решение уравненгш (6,8), как известно, представ.чяется в виде

г/(0 = г/ (0 = С,е +С2е +... + СУ , (6.9)

где Cj, С2,С - произвольные постоянные, зависяп1ие от начальных зпачегин! управляемой вс.чпчнны y(t) и ее производных, а р р2, -, Р -- некратные корни характеристического уравнения

аор + а,р - + ... + а .,р + а = 0.

Согласно (6.4) y{t) = с х{1). Поэто.му в соответствии с (6.3) система будет асимптотически устойчивой, если

11шг/ (0 = 0. (6.10)

Это условие выполняется, если каждая из составляющих решения (6.9) с течением вре.мени стремится к нулю.

Веп1:ествеп1н>1м кория.мр, = а, соответствуют сое гавляющие С,е . При а, < О они затухают, а при а,- > О непрерывно нарастают.

Комплексным корням (они могут быть только попарно сопряженными) Pi , = а, + ур, соответствует пара состав.тяюнщх, сумму которых, как известно, можно представить в виде

6> =,.e sin((3,i-f-v,).