Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Полученные выражения для матриц передаточных функций замкнутой системы позволяют использовать формулы, аналогичные формулам § 5.2, но записанные уже для матриц-столбцов ошибок и управляемых величин. Так, например, для матрицы изображений ошибок имеем

Х{р) =

Х2(Р)

= Ф,(р)С(р)-Ф(р)Р(р).

(5.120)

Исходные дифференциальные уравнения м]10гомерной системы могут быть также представлены в виде уравнений состояния:

х = Ах + Ви+ Mf; у=Сх;

(5.121)

В этих выражениях х = [х х2.....x f - матрица-столбец переменных состояния,

п - порядок дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение, соответствующее системе (5.121), имеет вид

Ep-A-BD =0,

(5.122)

где Е - единичная матрица пхп.

Выбор переменных состояния для многомерных систем (в отличие от одномерных) представляет собой сложную задачу и здесь не рассматривается.

Условием полной управляемости многомерной системы является невырожденность матрицы Калмана

В, АВ, АВ,...[а) В а условием полной наблюдаемости - невырождетюсть матрицы

C\Ac\(¥fc\...(A) ~c

(5.123)

(5.124)

Матрицы (5.93) и (5.99) представляют собой частные случаи матриц (5.123) и (5.124).



Глава 6

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

§6.1. Общие сведения об устойчивости

Устойчивость является одним из главных требований, предъявляемых к автоматическим системам.

Для иллюстрации понятия устойчивости обыч1ю приводится следуюпитй пример (рис. 6.1). Состояние равновесия тара в точке на рис. 6.1, а устойчиво, так как если какие-либо вне1пиие силы выведут тар из этого состояния (например, в точку А, или Лз), то он возвратится к точке А. Состояние равновесия в точке А па рис. 6.1, а неустойчиво.

В этом примере, как и в теории устойчивости, полагается, что впепнтие силы или возмущения прекращают свое действие к некоторому моменту времени, который можно принять за начальный момент = 0. Такие возмущения часто называют исчезающими.

Применительно к системам автоматического управления такое понятие устойчивости можно использовать лишь частично для характе]5истики свойств их объектов, которые сами по себе .могут быть устойчивы.ми или неустойчивыми. К пОсле-днихМ относятся, например, некоторые ракеты.

Автоматические системы отличаются тем, что в них, во-иервых, осуП1ествляется специально оргайизоваппое управление объектом. Благодаря ему система с неустой-чивы.м объектом может стать устойчивой, а система с устойчивы.м объектом (при неправильном управлении) - иеусгойчивой. Так, неустойчивое состояние равновесия шара на рис. 6.1, б легкими прикосновениями можно сделать устойчивы.м, а шар на рис. 6.1, а те.м же способом можно раскачать так, что амплитуда колебаний будет увеличиваться.

Во-вторых, при наличии исчезающих задающего и возмушаюпшх воздействий система .может иметь много состояний равновесия. Так, систе.ма стабилизации напряжения в электрической сети при номинально.м токе нагру.зки (возмущающем воздействии) поддерживает заданное значение напряжения, а при увеличении тока нагрузки из-за подключения донолнительпых потребителей переходит в другое состояние равновесия, отличающееся пониженным значением напряжения.

В-третьих, для ряда систем типичным режимом работы является движение. Так, исполнительная ось следян1ей системы в процессе слежения движется с ]юстоя1П1ой или переменной угловой скоростью, закон из.менеиия которой в общем случае может быть случайным. Состояние равновесия можно рассматривать как простейпшй частный случай движения.




В классической теории устойчивости исследуется ]ie устойчивость систе.мы как таковой, а устойчивость ее так пазывасмого невозмущенного движения.

Ниже будет иока;5апо, что для линейных систем с точки зрения устойчивости не имеет значения, какое их движение п])инимается в качестве невозмущенного. Это можетбыть, например,состоя]те равновесия системы стабилизации напряжения при любом (даже не заданном)-токе нагрузки или движение исполнительной оси следящей сис те.мы по случайному закону. Однако для нелинейных систем это имеет существенное значе]1ие, так как одно конкретно заданное невозмущенное движение может оказаться устойчивым, а другое - неустойчнвы.м.

Исчезнувнше к моменту времени f = О возмущения вызывают отклонение двн-жегшя системы от ее невоз.мущенно1о движенргя. Это новое движение называется возмущенньш.

Строгая математическая теория устойчивости была создана Л. И. Лянуновы.м и изложена и.м в ])аботе Общая задача об устойчивости движения , опубликованной в 1892 г. В ней было определено понятие устойчивости и разработаны методы устойчивости нелинейных систем.

Отправные ноложення,Tia которых базируется понятие устойчивости по Ляпунову, рассмотри.м на примере систе\п>1 второго порядка. Для характеристики движения этой системы исиользуемнере.менные состояния (см. гл. 5)Xi их2. На плоскости (рис. 6.2) они определяют положение некоторой точки М. В процессе движения системы X, II л2 из.мепяются, а точка М прочерчивает некоторую траекторию.

Положи.м,что невозмущенному движению соответствует траектория 1, на которой x(t) = x(t), Х2(!:) = .12(0 Начальными значениями для нее будут xf (0) = xfo, Х2(0) = Х2о (точка Mq ). Пусть исчезнувшие к мо.менту времени с = О возмущения изменили начальное состояние систе.мы и пачальиы.мизпачения.ми сталих5(0),Х2.(0), которым соответствует точка Mq. В результате движение стало воз.мущеппым (кри-

вые 2 или 3). Отклонения начальных значеннн обозначим Дхю = х,(0)-х]


А-,(г,)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248