Здесь индексом Г обозначена операция транспонирования матрицы.

Если управляе.мые величины имеют одинаковую физическую размерность и могут трактоваться как проекции некоторого вектора на оси координат, .матрица-стол-бен может отождествляться с этим вектором. Тогда можно говоритьо векторе управляемых величин.

Если управляемые величины имеют разную физическую раз.мерность, то переход от матрицы-столбца к вектору в принципе .может быть сделан и в этом случае, если ввести в матрицу-столбец весовые коэффициенты, уравпиваюпще размерностп отдельных составляющих. Однако такой переход не является единственным, а и.меет бесчисленное количество вариантов.

Аналогичным образом ири равенстве физических размерностей отдельных составляющих матриц-столбцов управляющих воздействий и возмущений может быть введен вектор управления и вектор возмущения. При разных физических размерностях отдельных составляюнщх матриц-столбцов переход к вектору воз.можен, }io не будет единственным.

Линеаризованные уравнения движения .многомерного объекта могут быть записаны в .матричном виде:

q(p)y=7(p)u + J(p)/. (5.104)

Здесь введена квадратная матрица операторных коэффициентов размеро.м тхт ~Яи(р) Я\2(р) Яы(рУ

4{р) =

Я2\(Р) Я22(Р)

Я2т(р)

(.5.105)

/hniP) Ят2(Р) Ятт(Р)

И прямоугольные матрицы операторных коэффициентов раз.мером mxkumxl

г(р) =

1(р) =

(5.106)

(5.107)

Если в выражениях (5.101) - (5.107) перейти к изображениям Лапласа при пулевых начальных условиях, то .матричное уравнение (5.104) может быть записано для изображений в следующем виде:

(5.108)

Qip)Y(p) = R(p)Uip) + Sip)F(p).

Здесь Y(p), U{p) и / (р) - матрицы-столбцы изображений управляемых величин, управляющих воздействий и возмущений.

В уравпение (5.108) входят также квадратная матрипа Q(p)H пря.моугольпые .матрицы R(p) и S(p) ра.3хмерами тхт,тхкитх1 соответственно.

Если матрица (7;)пеособая, т.е. определитель Q(p)0,TO, умножив левую и правую части (5.108) слева па обратную .матрицу Q~\p) получи.м

Y(p) = W(p)U(p) + \Vj-(p)F(p).

(5.109)

Здесь введены матрицы передаточных функций объекта для управляюпшх воздействий

й(р) й

Q(p)

Rip)

и для воз.мущепий

Ш(р) = -Ш5(р).

Qip)

(,5.110)

(5.111)

В (5.111) символом (/;) обозначена .матрица, присоединенная для матрицы Q(p). Фор.мулы (5,109)-(5,111) позволяют получить связь между уиравляемы.ми величинами и управляюпн1ми и воз.мушаюпптми воздействияхт. Так, например, если те = 3, = 2 и / = О, то из (5.109) п (5.110) можно получить для изображений

> 1 (Р) = KiPPiiP) + Wi.iPWiip}. Y2ip) = , (;;)?/, (p) + W. ip)U, (p).

yiP) = K(P)U,(P) + K(P)U2(P)-

(5.112)

Ha рис. 5.15 изображена условная структурная схема зали<путой .многомерной системы. На схеме все указаптю символы соответствуют матрнца.м: g{t)- задающий воздействий, y{t) - управляемых величин, x{t) - опшбок для каждой управляемой величины, u{t) - управляющих воздействий, f{t) - воз.мущеинй, Щ{р) -передаточных функций для управлений, U/(p) - передаточных функций для возмущений. Кро.ме того, введена прямоугольная матрица передаточных функций управляющего устройства у{р), которая определяет пспользуе.хнле алгоритмы управления. Она дает связь между изображениями управляющих воздействий и ошибок:

Уравнения многомерной системы (рис. 5.15) .могут быть получены дей-ствия.ми, аналогичпы.ми одпо.мерно-му случаю (§ 5.2).

Матрица передаточных функций разомкнутой ио всем каналам системы

W{p) = \%{p)W{p). (5.11/1)

Характеристическая матрица системы представляет собой квадратную .матрицу раз.меро.м т х т:

Рис. 5.15

Dip) = E + W{p).

(.5.115)

Здесь Е - единичная матрица размером т х от, т. е. квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные - нулю.

Характеристическое уравнение системы получается приравниванием нулю определителя характеристическо!! матрицы:

ад - £ + и(р)=0.

(5.116)

Замети.м, что в случае, когда .многомерная систе.ма представляет совокупность т независимых одномерных систем, характеристическая .матрица будет диагональной и определительистемы тогда равен произведению частных определителей каждой из систем, т. е. D{p) =D,(p)x...xZ), (/j), В этом случае общее характеристическое уравнение распадается иа т иезависи.мых характеристических уравнений \D, (/;); = О, i== 1,2, ...,от.

Матрицы передаточных функций за.мкнутой системы, за.мкнутой системы но ошибке и замкнутой системы по воз.мущения.м при условии, что матрица D{p) неособая, что означает независимость исходных дифференциальных уравнений, .могут быть онределены из выражений

Ф{р) = D-\p)W{p) = гЩр),

0(Р)

(5.117)

ф,(р) = о-Чр) =

D(p)

Dip)

(5.118)

Фf{p) = D~\p)Wf(p) = -W(p).

Dip)

Здесь Dip) - матрица, присоединенная для матрицы Dip).