Рис. 5.11

Если собствеи1П)1е значения матрицы А , т. е. Х,

?t , раз.;п1ЧН1)1. то .матрица 5 Л5 будет диагональной. Собственные вектор1>1 определяются из уравпепи!!

Л-?,/71, =0, г = 1,2.....п.

Однако диагонализапия представляет собой трудоемкую операцию и воз.можна не всегда. Гораздо удобнее использовать предложенный Р. Калманом критерий управляемости. Применительно к одпо.мерио.му объекту он гласит, что объект полностью управляемый, если матрица

= АЬ, АЬ...А -Ч)

(5.93)

является невырожденной, т. е. если ее ранг равен п.

На рис. 5.11 в качестве примера изображена структурная схе.ма объекта. Ей соответствует дифференциальное уравнение (5.70)

1Г,7У + (Т2+П)р + \\у- а\р - 1) м .

(.5.94)

В правой части этого уравнения есть П1Юнзводная от и. Поэто.му нор.мальиая (j:)op-ма уравнений состояния не существует. использовапип капбиическо!! формы уравнения (5.83) и (5.84) принимают вид:

Х-> = ---

ЧТ2-Т-,)

(5.95)

Соответствуюпщя им схема изображена па рис. 5.12, а.

Если окажется, что Г, = Г, то иеремениаях2 станет неуправляемой (рис. 5.12, б). Применительно к исходной схе.ме (рис. 5.11) равенство Г, = Т- означает, что порядок объекта понижается на единицу. Однако это справедливо лишь при нулевых начальных условиях, так как именно при таких условиях определяются передаточные ([пП-кции. При ненулевых начальных условиях переменная пе исчезает , а измеияст-

Т,{Тг -1\)р-г\/Т,

Г-г - Т,

Х2 = еЧ(0)

Ъ(р + \/Т;)

Тг{р-\/Т,)

Тг -

Тг-Ж

Ъ(р + 1/Т,)

Рис. 5.13

ся ио закону (5.91), участвуя в фор\и1ровапии управляемой величины так, как показано на рис. 5.12, б. Следовательно, и порядок объекта остается прежним.

Выбор пере.ме1пН)1х состояния в виде (5.82) и (5.84) неяв.;1яется единственно воз-можиы.м. Например, вместо выражения (5.81) можно использовать следу10П1се:

У ~ Zj i

ы Р-Р,

где с - постоянные коэффициенты.

Тогда вместо (5.83) и (5.84) получим:

i; = PjXi + RjCi м + Qfiг = 1,2,..., n.

/У = С.Г, +С2Х2+...+С Х =с X.

(5.96)

(5.97) (5.98)

Один из вариантов выбора коэффициентов с, и с, для рассматриваемого примера представлен па рис. 5.13, а, откуда следует, что щт любых значениях постоянных времени объект остается полностью управляемым. Однако при Г, = переменная не участвует в формировании управляемо!! величины у (рнс. 5.13, б), т. е. не наблюдается на В1)1ходе объе1<:та.

Управляемый объект (!1ли автоматическая система) называется полностью наблюдаемым, если все переменные состояния входят в В1)1раже11ие для управляемой величины. Нетрудно убедиться, что при нормальной форме уравнений состояния это условие выполняется все1да, а 1!ри канонической 4)орме - если все коз4)ф!П1ие11-ты с,- в уравнениях (5.72) или (5.98) отлич111>1 от пуля. В общем случае объект является полностью паблюдаем1)1М, если матрица Ка,!.мана

с, А

-г\2

(5.99)

является невырожденной.

Рассмотренный выше пример следует рассматривать лишь как и;1Л10стративиый, так 1<:ак практически добит1)ся идеального совпадения 110стоя1Н11>1х времени 7 i и Гз невозможно. Однако он позволяет сделать в1,1вод о том, что управляемость и наблюдаемость - это свойство не ca.Moio объекта (или системы), а его мате.матичесшй модели в виде уравнений состояния. При одном выборе переменных состояния обеспечивается полная управляемость, а щт дру1-ох[ - полная наблюдаемость. Эти П[)обле-.М1)1 не возникают, если модель объекта представлена ди(})(})ереп1и1а.1Ы1Ы.м у1)авнением (5.70).

11 о Непрерывные линейные сисгемы автоматического управления

Понятия управляемости и наблюдаемости важны, например, тогда, когда алгоритм управления формируется не в зависимости от ошибки системы (см. гл.2), а в функции переменных состояния;

w = w (х Х2, ...,х ). (5.100)

Однако в изложенном вы1пе смысле они не всегда совпадают с практическими представлениями. Даже если какая-либо неременная состояния и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка этих величин, особенно при наличии помех, .может быть сложной. Поэтому практически на-блюдае.\И)1ми переменными обычно считаются те из них, которые могут быть непосредственно измерены теми или иными датчиками.

§ 5.7. Многомерные системы управления

К многомерным относятся системы управления, имеющие несколько управляемых величин г/; (г = 1, 2, т). Это имеет место во многих современных сложных системах. К ним относятся, например, системы стабилизации напряжения и частоты синхронных генераторов, системы управления подвижных объектов, .многие системы управления технологическими процессами и др.

Мпогомерпая система предполагает наличие многомерного объекта управления (рис. 5.14), который характеризуется суп[ествовапием нескольких входов (точек приложения управляющих и возмущающих воздействий) и нескольких выходов, определяемых управляемыми величинами.

Многомерный объект описывается системой уравиершй, которую удобно представлять в матричной форме.

Введем одностолбцовую те-мерную матрицу управляемых величин

У\ У2 ymf

(5.101)

одностолбцовую А;-мерпую матрицу управляющих воздействий

/./2 fi

Ui-Ul-

У2

= [Щ U2

(5.102)

и одпостолбцову ю /-мерную матрицу вазмущающих воздействий

= I /, Гл г, \

= [/. /2 - Г.