-и +

Коли корни р Р2,-Р полинома Cq(p) действительные однократные, то правая часть (5.80) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей:

где Ri и Qj - коэффициенты разложения.

В качестве неремеиных состояния выбираются слагаемые су.ммы (5.81):

=ff±u/.i = u.....п. ,582)

Отсюда

P-Pi

(p-Pi)xrR,u + Q,/, i- 1,2,..., к

Х; = Р;Х; + RjU + QJ , f = 1, 2.....П.

При .этом согласно (5.81) и (5.82)

у = X, + Х2 + ... + Х .

Таким образом, в уравнениях (5.73) и (5.74)

О ... О О Р2 ... О

(5.83 ) (5.84)

О О ... р 1 1 ... 1

(5.85)

Волыним достоинство.м канонической формы является диагопальность .матрицы А , что существенно упрощает рещепие уравнения (5.73). Основной недостаток ее состоит в то.м, что перемепнью состояния не и.меют ясного физического сшлагл, в результате чего возникает проблема их неиосредственного измерения.

Существуют и другие способы выбора переменных состоя!ШЯ, которые :}десь не рассматриваются.

Рещение векторно-матричиого уравнения (5.73) может быть представлено в виде

x(t) = (/xф)+\eЧu{x)dx +

,f{x)dx.

(5.86)

Для получепня уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта (5.70) представ;1яется в виде

йо(Р)., , Vo(p)

(5.80)

Матричная функция называется переходной или фундаментальной матрицей. Если уравнения состояния {федставлены в канонической форме, то матрица А диагональная и имеет вид (5.85). Тогда

о/ О

О о

oPnt

(5.87)

При других формах уравнений состоя}1ия для определения фундаментальной матрицы можно использовать известные способы нахождения матричных функций, например, теоремы Ке.ти-Гамильтона или Сильвестра. Можно также использовать формулу

(5.88)

где! - обратное преобразование Лапласа, Е - единичная матрица, (p£-/lj -

.матрица, обратная матрице (рЕ ~ ).

При необходимости .можно осуществить об})атпый переход от уравнений состояния к нередаточиы.м функциям объекта. Для этого уравнение (5.73) запишем в изображениях но Лапласу:

рХ{р) - J(0) = АХ{р) + bU(p) + тЕ{р).

Отсюда

Х(р) = {рЕ- л)[ J(0) + bU(p) + mF(p)].

(5.89)

Из (5.89), в частности, при м = О и/= О получается формула (5.88). Из уравнения (5.74) с учетом (5.89) найдем изображение управляемой величины при пулевых 1ю-чальных значениях:

Y(p)= с(рЕ-Л) б U(p)+ с (рЕ-Аут Е{р).

(5.90)

Здесь оно без строгого доказательства построено по аналогии с реп1епием линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

x = ax+bu + mf,

общий интеграл которого, как известно, определяется по формуле

где - собственный вектор. Тогда уравнения (5.73) и (5.74) прини.мают вид

i = S-AS% + S-bu + S-mf;

-т (5.92)

Выражение (5.90) аналогично выражещио (5.9). Следовательно, в первых квадратных скобках записана передаточная функция Wq(p), а во вторых - - передаточная функция Wfip).

При описании свойств объекта уравнениями состояния возникают две проблемы, нетипичные для случая, когда используется одно дифференциальное уравнение и-го порядка. Эти проблемы рассматриваются в следующем параграфе.

§ 5.6. Управляемость и наблюдаемость

Объект называется полностью управляемым, если существует такое управляющее воздействие u{t), определенное на конечнсм интервале времени tQKt, которое переводит его из любого начального состояния х(1) в любое заданш)е конечное состояние x(tj). Очевидно, ч гобы осуществить такой перевод, управляющее воздействие должно пря.мо или косвенно влиять па все переменные состояния.

В тех случаях, когда уравнения состояния представлены в нормальной фор.ме, объект всегда полностью управляемый. Это видно из уравнений (5.77). Управляющее воздействие прямо входит только в последнее уравнение, влияя на неремениую х . Но она, в свою очередь, влияет на x ,x ., - Hax 2 и т. д. В результате переменные -Г x I косвегию тоже оказываются управляемыми. Однако, как отмечалось выше, нормальная форма существует только при отсутствии в правой части дифференциального уравнения (5.70) производных от м и /.

При канонической форме матрица А диагональная, в результате чего уравнения (5.83) независимы. Поэтому для обеспечения полной управляемости управляющее воздействие должно входить в каждое из этих уравнений, т. е. должно выполняться

условие RiQ,i= 1,2.....п. Если хотя бы один из этих ко.эффициентов, напри.мер Rk,

равен пулю, то при Qxf= О переменная Xf; будет изменяться по закону

x,(t) = e<xM, (5.91)

припи.мая в момент времени значение

xit,) = ex <x,ito),

в общем случае отличающееся от требуемого значения.

При других фор.мах уравнений состояния, если в них матрица А диагональная, условия полной управляемости получаются столь же просто, как и П[)И канонической форме. В противном случае можно попытаться произвести диагонализацию следующим образом.

Положим, что cyniecTByeT невырожденная матрица 5 порядка п такая, что

l = S x,