(1 + 7 (1 + Г;р)

iCpCu I(1+Гвр)(1 + Гмр + Г,7мр2) + k, ]

(1 + Г,р)(1 + 7-вуу) QCm (1 + К )р(1 + ар + bp + cjy) (-б)

где к. ,а ,biic определяются формула.ми ( 5.57) и (5.59),

Имея теперь значения передаточных функций W(j)) и W/(p), но общим формулам (5.8) и (5.9) находим операторное выражение для управляемой величины

Гя (1 + 7;р)(1 + ГвР)М

р(1 + ар + Ьр +q)) + K iCyiCi;(l + k,) р(\ + ар + bp + ср) + К

и для ошибки

p(l + up + fcp4cp)i-)i г, (1 + Г,р)(1 + -/др)М

р{\ + ар + bp + ср) + К г6\,С£(1 + к ) р(1 + ар + Ьр +ср) + К

(5.65)

(5.66)

Из (5.66) можно, в частности, получить установившуюся 01пибку в неподвижном положении при (t) = const и М (t) = Mq = const. Для этого необходимо положить р = 0:

гсл,(1+)7 ckkk-Ak к -

Здесь введено понятие так называемой добротности по моменту (или крутизны но моменту), которая равна отношению приведенного к оси двигателя .момента па-грузки к возникающей при гэтом статической (моментной) онгибке:

м-:---- (5.68)

Ост я

схемы (рис. 5.10) при разо.мкнутой главной обратной связи и при разомкнутой местной обратной связи

2=-Н (5.61)

гле г - передаточное отнонюние редуктора.

При замыкании местной обратной связи в соответствии с формулой (5.29) получаем

откуда искомая передаточная функция по возмущению

Из формулы (5.67) видно, что в неподвижном положении опшбка определяется только .моментом нагрузки (возмущающим воздействием).

Заметим, что в фор.мулу (5.67) входит мо.мент нагрузки, ириведеп]И)1Й к валу двигателя. Поэтому в эту фор.мулу ие вошло передаточное отнопшпие редуктора. Если перейти к .моменту нагрузки оси управляемого объекта, то в зна.менателе последнего выражения (5.67) появится в качестве множителя г. В соответствии с эти.м можно сформулировать другое понятие добротности но .моменту, как отношение мо.меита нагрузки па оси управляемого объекта к устаповивп1ейся оитбке.

При движении с постоянной скоростью рд, = Q = const и М = Mq = const из (5.66) получается установившаяся ошибка

Q, Мл

Здесь можно ввести понятие добротности но скорости, которая является коэффициентом пропорциональности между скоростью движения следящей систе.мы и возникаюп1ей при этом установившейся ошибкой (при отсутствии возмущения). В данном случае она равна общему коэффициенту усиления но разомкнутой цепи

Q= = при Mo = 0.

§ 5.5. Уравнения состояния

При решении некоторых задач теории автоматического управления удобнее представлять дифференциальное уравнение объекта (5.1) или дифференциальные уравнения системы (5.4) и (5.6) в виде совокупности дифференциальных уравнешн ] первого порядка. Не умаляя общности, рассмотрим эти уравнения применительпо к управляе.мо.му объекту.

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением и-го порядка (5.1)

С{р)у-В{р)и + Щ{р)1. (5.70)

Введем в рассмотрение п независимых переменных х Х2,х , называемых пе-ременнъши состояния и представим уравнеиие (5.70) в виде системы дифференциальных уравнений

X, =aiix, +а,2Х2 +...а, х +b,u + mj ;

±2 = 2iX, + 22-2 +---2пп +b2U + m2f \

.................................................... (5.71)

х =й ,х,+й 2Х2+...а х +й м + т / ,

Эти уравнения, как и уравнение (5.70), полностью характеризуют состояние объекта в любой мо.мент времени и называются уравнениями состояния. Свя.зь между переменными состояния и управляемой величиной г/() устанавливается алгебраическим уравнением

г/= c,xi + с2х2 + ...+. (5.72)

=г/; Х2 =у; х-=у;...;х =у -\

(5.75)

Эту ()юрму .можно испо;1Ьзовать лишь при отсутствии в П1)авой части уравнения (5.70) производных от и и/, т. с. когда опо и.меет вид

г/< -ья,/ - +... + а у + а у = Ьи + mj.

В этом случае

(5.76)

Х=Х2\

.Г2=:.г-з;

(5.77)

т. е.

х = -а х, - a iX2 -.. .й,х ,+ Ьи + mj,

-а -а

О 1

-2

L*oJ

Из (5.75) следует, что у = х,. Поэтому в уравнении (5.74)

с=[10 О... о;.

(5.78)

(5.79)

Достоинством нормальной формы является то, что иереметпияе состояния име-К)т ясный физический смысл, а некоторые из них (например, х и х) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.

Обычно уравнения (5.71) и (5.72) .записываются в векторно-матричпой форме:

x = Ax + bu + inf; (5.73)

у = сх, (5.74)

где А - матрица размером пхп , h, т,с- матрицы-столбцы. Матрицу-столбец-

.г называют вектором состояния, хотя в общем случае х не является вектором, так как eio компоненты .Г), ......г .могут иметь неодинаковые 1)азмерности.

В выборе перемецпых состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они бььти независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнетш (5.73) и (5.74), т. е. вид входящих в них .матриц.

При нормальной форме уравпеппй состояния в качестве переменных состояния выби1)аются сама уи1)авляемая величина ип- 1 ее пропзвод1Н51е: